Question

Помогите, пожалуйста, вычислить определённый интеграл от 0 до π/2: ∫dx/(3 + 5cosx)

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть u = tan(x/2), тогда dx = 2/(1+u^2) du. Также заметим, что cos(x) = (1-u^2)/(1+u^2).

Теперь заменим переменные в исходном интеграле:

∫dx/(3 + 5cosx) = ∫(2/(3 + 5(1-u^2)/(1+u^2)) du = 2∫(1+u^2)/(3(1+u^2) + 5(1-u^2)) du = 2∫(1+u^2)/(8 - 2u^2) du

Теперь разложим дробь на простейшие:

2∫(1+u^2)/(8 - 2u^2) du = 2∫((1/4)*(1+u^2)/(1-u)(1+u)) du = 2∫((1/4)*((A/(1-u)) + (B/(1+u)))) du, где A и B - некоторые константы, которые мы должны найти.

Теперь найдем A и B, раскладывая на простейшие дроби:

(1/4)*((A/(1-u)) + (B/(1+u))) = (1/4)*(A*(1+u) + B*(1-u))/((1-u)(1+u)) = (1/4)*(A + Au + B - Bu)/((1-u^2)) = (1/4)*((A+B) + (A-B)u)/((1-u^2))

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях u в выражениях, получаем систему уравнений:

A + B = 1 A - B = 0

Решая эту систему, получаем A = 1/2, B = 1/2.

Теперь заменим интеграл:

2∫((1/4)*((1/2/(1-u)) + (1/2/(1+u)))) du = (1/2)∫(1/(1-u)) du + (1/2)∫(1/(1+u)) du = (1/2)ln|1-u| + (1/2)ln|1+u| + C = (1/2)ln|1-tan(x/2)| + (1/2)ln|1+tan(x/2)| + C

Теперь подставим обратную замену переменных:

(1/2)ln|1-tan(x/2)| + (1/2)ln|1+tan(x/2)| + C = (1/2)ln|1-tan(x/2)/1+tan(x/2)| + C = (1/2)ln|cos(x/2)| + C

Таким образом, определенный интеграл от 0 до π/2 равен:

(1/2)ln|cos(π/4)| - (1/2)ln|cos(0)| = (1/2)ln(1/√2) - (1/2)ln(1) = (1/2)*(-ln(√2)) - 0 = -ln(√2)/2.