Question

Помогите, пожалуйста, решить эти тригонометрические уравнения : a)sinx-cosx=-1 б)cos^2x-sin^2x=0,5 Просто я болел долгое время и пропустил данную тему. И , если не трудно то объясните , как данные уравнения решаются.

Answer 1

Тригонометрия - важный раздел алгебры, научиться решать ее можно путем подготовки к бывшему заданию С1. Рекомендую почитать сборники с приёмами решений.
1) Выражения типа sinx+cosx решаются методом введения вспомогательного угла, далее мы используем формулу sin(x-a)=cosa*sinx-cosx*sina
$sinx-cosx=-1 \\ sinx-cosx=-1|: \sqrt{2} \\ \frac{1}{ \sqrt{2} } sinx-\frac{1}{ \sqrt{2} }cosx=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \frac{ \sqrt{2} }{2} sinx-\frac{ \sqrt{2} }{2}cosx = -\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ cos \frac{ \pi }{4}sinx-sin \frac{ \pi }{4}cosx=-\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin( x-\frac{ \pi }{4} )=-\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x=\frac{ \pi }{4} +(-1)^narcsin(-\frac{ \sqrt{2} }{2}) \\ x=\frac{ \pi }{4} + (-1)^{n+1} arcsin(\frac{ \sqrt{2} }{2}) \\ x=\frac{ \pi }{4} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4}$
2) Используем формулу основного тригонометрического тождества sin^2a+cos^a=1
$cos^2x-sin^2x=0,5 \\ cos^2x-(1-cos^2x)=0,5 \\ 2cos^2x=1,5|:2 \\ cos^2x=0,75 \\ cos^2x= \frac{3}{4} \\ cosx=| \sqrt{\frac{3}{4} } | \\ cosx_1= \frac{ \sqrt{3} }{2} ; cosx_2=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x_1=+-arccos \frac{ \pi }{6} +2 \pi k, x_2= \pi +-arccos \frac{ \pi }{6} +2 \pi n$

Answer 2

Решение уравнения a) sinx - cosx = -1:

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса.

1. Приведем уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Для этого, воспользуемся тождеством синуса и косинуса: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Умножим оба выражения уравнения на 2:

2sin(x) - 2cos(x) = -2

2. Теперь добавим к обоим частям уравнения выражение 2sin(x) + 2cos(x):

2sin(x) - 2cos(x) + 2sin(x) + 2cos(x) = -2 + 2sin(x) + 2cos(x)

Упростим:

4sin(x) = -2 + 2sin(x) + 2cos(x)

3. Перенесем все слагаемые, содержащие sin(x), на одну сторону уравнения:

4sin(x) - 2sin(x) = -2 + 2cos(x)

Упростим:

2sin(x) = -2 + 2cos(x)

4. Теперь воспользуемся тождеством синуса и косинуса, чтобы избавиться от cos(x). Заменим cos(x) на sqrt(1 - sin^2(x)):

2sin(x) = -2 + 2sqrt(1 - sin^2(x))

5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

4sin^2(x) = 4 - 8sqrt(1 - sin^2(x)) + 4sin^2(x)

Упростим:

8sqrt(1 - sin^2(x)) = 4

6. Разделим обе части уравнения на 8:

sqrt(1 - sin^2(x)) = 0.5

7. Возведем обе части уравнения в квадрат:

1 - sin^2(x) = 0.25

Упростим:

sin^2(x) = 0.75

8. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

sin(x) = sqrt(0.75)

Упростим:

sin(x) = 0.866

9. Найдем значения угла x, для которых sin(x) равен 0.866. Используя тригонометрическую таблицу или калькулятор, найдем обратный синус от 0.866:

x = arcsin(0.866)

Приближенное значение x равно 60 градусов.

Таким образом, решение уравнения a) sinx - cosx = -1: x = 60 градусов.

Решение уравнения б) cos^2x - sin^2x = 0.5:

Для решения данного уравнения, мы также можем использовать тригонометрические тождества и свойства функций синуса и косинуса.

1. Приведем уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Воспользуемся тождеством синуса и косинуса: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Заменим в уравнении cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 0.5

Упростим:

1 - 2sin^2(x) = 0.5

2. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

2sin^2(x) = 0.5 - 1

Упростим:

2sin^2(x) = -0.5

3. Разделим обе части уравнения на 2:

sin^2(x) = -0.25

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

sin(x) = sqrt(-0.25)

Упростим:

sin(x) = 0.5i

Здесь i - мнимая единица.

5. Найдем значения угла x, для которых sin(x) равен 0.5i. Используя тригонометрическую таблицу или калькулятор, найдем обратный синус от 0.5i:

x = arcsin(0.5i)

Приближенное значение x равно 30 градусов.

Таким образом, решение уравнения б) cos^2x - sin^2x = 0.5: x = 30 градусов.