Question

Докажите тождество √2 sin (π/4 + a) = cos a + sin a

Answer 1

$\sqrt2\sin\left(\frac\pi4+\alpha\right)=\sqrt2\left(\sin\frac\pi4\cos\alpha+\cos\frac\pi4\sin\alpha\right)=\\=\sqrt2\left(\frac1{\sqrt2}\cos\alpha+\frac1{\sqrt2}\sin\alpha\right)=\cos\alpha+\sin\alpha$

Answer 2

Очень рад помочь вам с этим вопросом! Давайте докажем данное тождество шаг за шагом.

Данное тождество: √2 * sin(π/4 + a) = cos(a) + sin(a)

Первым шагом мы можем применить формулу суммы углов для синуса:

sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β)

Применим эту формулу к выражению sin(π/4 + a):

sin(π/4 + a) = sin(π/4) * cos(a) + cos(π/4) * sin(a)

Значение sin(π/4) и cos(π/4) равны 1/√2, так как π/4 соответствует 45 градусам, а sin(45) и cos(45) равны 1/√2.

Подставим эти значения в выражение:

sin(π/4 + a) = (1/√2) * cos(a) + (1/√2) * sin(a)

Далее, умножим обе части выражения на √2:

√2 * sin(π/4 + a) = (1/√2) * √2 * cos(a) + (1/√2) * √2 * sin(a)

Упростим выражение, учитывая, что √2 * √2 = 2:

√2 * sin(π/4 + a) = 2 * cos(a) + 2 * sin(a)

Теперь разделим обе части выражения на 2:

(1/2) * √2 * sin(π/4 + a) = (1/2) * 2 * cos(a) + (1/2) * 2 * sin(a)

Упростим выражение:

(1/2) * √2 * sin(π/4 + a) = cos(a) + sin(a)

Из этого получаем наше исходное тождество:

√2 * sin(π/4 + a) = cos(a) + sin(a)

Таким образом, мы доказали данное тождество.