Question

Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения: а) x^2-2xy+y^2+a^2 б) 9b^2-6b+4c^2+1

Answer 1

1)x^2-2xy+y^2+a^2=(x-y)^2+a^2 принимает положительные значения т.к. выражения под корнем всегда неотрицательна, а сумма двух положительных чисел есть число положительное

2) (3b-2c)^2+1 аналогично

Answer 2

a) Для доказательства того, что многочлен x^2-2xy+y^2+a^2 принимает лишь неотрицательные значения, можно воспользоваться методом полного квадрата. Разложим данный многочлен на квадратный трехчлен: (x-y)^2 + a^2. Таким образом, мы видим, что первое слагаемое является квадратом, а второе слагаемое a^2 всегда неотрицательно. Таким образом, вся сумма также неотрицательна, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что многочлен 9b^2-6b+4c^2+1 принимает лишь неотрицательные значения, можно воспользоваться методом полного квадрата. Разложим данный многочлен на квадратный трехчлен: (3b-1)^2 + 4c^2. Таким образом, мы видим, что первое слагаемое является квадратом, а второе слагаемое 4c^2 также неотрицательно. Таким образом, вся сумма также неотрицательна, что и требовалось доказать.