Question

Найти наименьший корень уравнения (sqrt{x+5} - sqrt{x+4})^x²=(sqrt{x+5} + sqrt{x+4})^5x-6

Answer 1

X≥-4 - одз.
$(\sqrt{x+5} - \sqrt{x+4})^{x^2}=(\sqrt{x+5} + \sqrt{x+4})^{5x-6} \\ (\sqrt{x+5} - \sqrt{x+4})^{x^2}=( \frac{1}{\sqrt{x+5} - \sqrt{x+4} })^{5x-6} \\ (\sqrt{x+5} - \sqrt{x+4})^{x^2}=(\sqrt{x+5} - \sqrt{x+4})^{6-5x}$
Нас устроят случаи когда
1.√(x+5)-√(x+4)=0, причем 6-5x>0 - здесь решений нет.
2.√(x+5)-√(x+4)=1 в этом случае корень x=-4.
3. √(x+5)-√(x+4)=-1, причем 6-5x и x² должны быть одинаковой четности при найденном x. Тут тоже нет решений.
4. x^2=6-5x 
x=-6 - не попадает в одз корней.
x=1
Таким образом корни: x=-4, x=1. Наименьший корень равен -4.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем применить различные алгебраические преобразования и методы решения уравнений. Давайте разберемся подробно.

Шаг 1: Введение переменных

Для удобства решения, давайте введем новые переменные. Обозначим `a = sqrt(x+5)` и `b = sqrt(x+4)`. Тогда уравнение примет вид:

(a - b)^x^2 = (a + b)^5x - 6

Шаг 2: Преобразование уравнения

Возведем обе части уравнения в степень `1/x^2`, чтобы избавиться от показателя степени `x^2`. Получим:

(a - b) = ((a + b)^5x - 6)^(1/x^2)

Шаг 3: Преобразование правой части уравнения

Для удобства решения, давайте преобразуем правую часть уравнения. Возведем в степень `x^2` обе части уравнения и применим свойство корня, чтобы избавиться от показателя степени `1/x^2`. Получим:

(a - b)^x^2 = (a + b)^5x - 6

Шаг 4: Замена переменных обратно

Теперь мы можем заменить обратно переменные `a` и `b` на исходные значения `sqrt(x+5)` и `sqrt(x+4)`. Получим:

(sqrt(x+5) - sqrt(x+4))^x^2 = (sqrt(x+5) + sqrt(x+4))^5x - 6

Теперь, когда мы имеем уравнение в исходной форме, мы можем перейти к следующему шагу решения.

Шаг 5: Решение уравнения

Решение данного уравнения является достаточно сложной задачей и может потребовать применения численных методов или использование компьютерных программ для решения. Однако, я могу попробовать помочь вам с численным решением, используя метод итераций или метод Ньютона.

Если вы предоставите начальное приближение для корня уравнения, я смогу попытаться найти приближенное значение корня с помощью этих методов. Пожалуйста, предоставьте начальное приближение, если у вас есть такое.