Question

Найди значение выражения 5cos2x+6sin^2x, если ctgx=1/3

Answer 1

Ответ:

$ctgx=\dfrac{1}{3}\\\\\boxed{\ 1+tg^2x=\dfrac{1}{cos^2x}\ \ \Rightarrow \ \ cos^2x=\dfrac{1}{1+tg^2x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{ctg^2x}}=\dfrac{ctg^2x}{1+ctg^2x}\ }\\\\\\5\, cos2x+6sin^2x=5\cdot (cos^2x-sin^2x)+6sin^2x=5\, cos^2x+sin^2x=\\\\=4cos^2x+(cos^2x+sin^2x)=4cos^2x+1=4\cdot \dfrac{ctg^2x}{1+ctg^2x}+1=\\\\\\=4\cdot \dfrac{\dfrac{1}{9}}{1+\dfrac{1}{9}}+1=4\cdot \dfrac{9}{9\cdot (9+1)}+1=\dfrac{4}{10}+1=1,4$

Answer 2

Для того чтобы найти значение выражения 5cos2x + 6sin^2x, при условии ctgx = 1/3, давайте сначала разберемся с тригонометрическими функциями.

Выражение ctgx означает котангенс x, который является обратной функцией к тангенсу x. Котангенс может быть определен как отношение синуса x к косинусу x: ctgx = 1/tgx = cosx/sinx

В данном случае, у нас дано значение ctgx равное 1/3. Подставляя это значение в формулу ctgx = cosx/sinx, мы получаем: 1/3 = cosx/sinx

Теперь мы можем использовать это равенство для определения значений синуса и косинуса.

Умножим обе части уравнения на sinx, чтобы избавиться от знаменателя: sinx * (1/3) = cosx

Затем возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня в выражении sin^2x: sin^2x * (1/9) = cos^2x

Теперь мы можем заменить cos^2x в исходном выражении 5cos2x + 6sin^2x, используя полученное равенство: 5cos2x + 6sin^2x = 5(2cos^2x - 1) + 6sin^2x

Заменяем cos^2x на 1 - sin^2x: 5(2(1 - sin^2x) - 1) + 6sin^2x = 5(2 - 2sin^2x - 1) + 6sin^2x

Упрощаем выражение: 5(1 - 2sin^2x) + 6sin^2x = 5 - 10sin^2x + 6sin^2x

Объединяем подобные члены: 5 - 10sin^2x + 6sin^2x = 5 - 4sin^2x

Теперь нам нужно найти значение sin^2x. Для этого воспользуемся исходным равенством ctgx = 1/3: 1/3 = cosx/sinx

Возводим обе части уравнения в квадрат: (1/3)^2 = (cosx/sinx)^2 1/9 = cos^2x/sin^2x

Заменяем sin^2x на (1 - cos^2x): 1/9 = cos^2x/(1 - cos^2x)

Перемножаем обе части уравнения на (1 - cos^2x): 1/9 * (1 - cos^2x) = cos^2x

Раскрываем скобки: 1/9 - (cos^2x)/9 = cos^2x

Переносим cos^2x на одну сторону уравнения: cos^2x + (cos^2x)/9 = 1/9

Находим общий знаменатель и объединяем дроби: (9cos^2x + cos^2x)/9 = 1/9 10cos^2x/9 = 1/9

Теперь мы можем найти значение cos^2x: 10cos^2x = 1

Деля обе части уравнения на 10, получаем: cos^2x = 1/10

Теперь мы можем вернуться к исходному выражению 5 - 4sin^2x и заменить sin^2x на (1 - cos^2x): 5 - 4(1 - cos^2x) = 5 - 4 + 4cos^2x = 4cos^2x + 1

Таким образом, значение выражения 5cos2x + 6sin^2x, при условии ctgx = 1/3, равно 4cos^2x + 1, где cos^2x = 1/10. Подставляя это значение, получаем: 4(1/10) + 1 = 4/10 + 1 = 0.4 + 1 = 1.4

Таким образом, значение выражения 5cos2x + 6sin^2x, при условии ctgx = 1/3, равно 1.4.