Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (5n-1)+(9n-20) делится на 7

Answer 1

Раскроем скобки

5n-1+9n-20

Приведём подобные

14n-21

Вынесем 7 за скобку

7(2n-3)

Если мы разделим это на 7, то семерка сократится и получится 2n-3

Answer 2

Для того чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения (5n-1)(9n-20) делится на 7, мы можем воспользоваться методом доказательства по индукции. Давайте разберемся подробнее.

Метод математической индукции:

Метод математической индукции используется для доказательства утверждений для всех натуральных чисел.

Шаг 1: База индукции

Для n=1: Выражение (5*1-1)(9*1-20) = (5-1)(9-20) = 4*(-11) = -44 -44 не делится на 7.

Шаг 2: Предположение индукции

Предположим, что для некоторого натурального числа k, выражение (5k-1)(9k-20) делится на 7.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что при условии, что (5k-1)(9k-20) делится на 7, выражение (5(k+1)-1)(9(k+1)-20) также будет делиться на 7.

Раскроем скобки и посмотрим, делится ли полученное выражение на 7: (5(k+1)-1)(9(k+1)-20) = (5k+5-1)(9k+9-20) = (5k+4)(9k-11)

Теперь мы можем заметить, что (5k+4)(9k-11) = 45k^2 - 56k + 36 - 44 = 45k^2 - 56k - 8

Если (5k-1)(9k-20) делится на 7, значит существует целое число m, такое что (5k-1)(9k-20) = 7m.

Теперь мы можем записать выражение (5(k+1)-1)(9(k+1)-20) = 45k^2 - 56k - 8 = 7m + 7n = 7(m + n), где n - некоторое целое число.

Таким образом, мы доказали, что если (5k-1)(9k-20) делится на 7, то и (5(k+1)-1)(9(k+1)-20) также будет делиться на 7.

Заключение

Таким образом, мы использовали метод математической индукции, чтобы показать, что при любом натуральном n значение выражения (5n-1)(9n-20) будет делиться на 7.