Question

(Sin2x)^lnx найти производнуюСРОЧНОООО​

Answer 1

$y=(\sin2x)^{\ln x}$

Для нахождения производной понадобится логарифмическое дифференцирование. То есть сначала прологарифмируем обе части равенства:

$\ln y=\ln(\sin2x)^{\ln x}$

$\ln y=\ln x\cdot\ln\sin2x$

Теперь дифференцируем обе части:

$(\ln y)'=(\ln x\cdot\ln\sin2x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=(\ln x)'\cdot\ln\sin2x+\ln x\cdot(\ln\sin2x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{x}\cdot\ln\sin2x+\ln x\cdot\dfrac{1}{\sin2x}\cdot (\sin2x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{x}\cdot\ln\sin2x+\ln x\cdot\dfrac{1}{\sin2x}\cdot \cos2x\cdot(2x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{x}\cdot\ln\sin2x+\ln x\cdot\dfrac{1}{\sin2x}\cdot \cos2x\cdot2$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{x}\ln\sin2x+\dfrac{\ln x\cdot2\cos2x}{\sin2x}$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{1}{x}\ln\sin2x+2\ln x\,\mathrm{ctg}\,2x$

Выражаем производную:

$y'=y\cdot\left(\dfrac{1}{x}\ln\sin2x+2\ln x\,\mathrm{ctg}\,2x\right)$

$y'=(\sin2x)^{\ln x}\cdot\left(\dfrac{1}{x}\ln\sin2x+2\ln x\,\mathrm{ctg}\,2x\right)$

Answer 2

Производная функции (sin2x)^lnx может быть найдена с помощью правила производной сложной функции и правила производной произведения. Пошаговое решение выглядит так:

1. Пусть u = sin2x и v = lnx. Тогда функция (sin2x)^lnx может быть записана как u^v. 2. Производная u^v равна u^v * (v' * ln u + u' * v / u), где v' и u' - это производные v и u соответственно. 3. Производная u = sin2x равна u' = 2 * cos2x, используя правило производной синуса. 4. Производная v = lnx равна v' = 1/x, используя правило производной логарифма. 5. Подставляя значения u, v, u' и v' в формулу производной u^v, получаем:

d/dx (sin2x)^lnx = (sin2x)^lnx * (1/x * ln (sin2x) + 2 * cos2x * lnx / sin2x)

6. Упрощая выражение, получаем:

d/dx (sin2x)^lnx = (sin2x)^lnx * (ln (sin2x) / x + 2 * cos2x / tanx)

Это окончательный ответ. Вы можете проверить его с помощью онлайн калькулятора производных, например, [Wolfram|Alpha](https://ru.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator), [Calculator Online](https://calculator-online.net/ru/derivative-calculator/) или [MathDF](https://mathdf.com/der/ru/).