Question

Периметр прямоугольника равен 80см. Если его длину увеличить на 6 см, а ширину уменьшить на 12 см, то его площадь уменьшится на 6 см². Определить площадь первоначального прямоугольника

Answer 1

Ответ:   384 см² .

Пусть длина прямоугольника = х см , а ширина = у см .

Площадь прямоугольника будет равна произведению длины на ширину, то есть  S₁=xу см²

Периметр равен  Р=2(х+у)=80 см ,  х+у=40 .

Длину увеличили на 6 см, значит, она стала равна (х+6) см .

Ширину уменьшили на 12 см, значит, она стала равна  (х-12) см .

Площадь нового прямоугольника равна  S₂=(x-12)(x+6) cм² .

По условию   S₂= S₁-6 . Запишем систему уравнений .

$\left\{\begin{array}{l}x+y=40\\(x-12)(x+6)=xy-6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x+y=40\\x^2-5x-72=xy-6\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}y=40-x\\x^2-5x-72=x(40-x)-6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=40-x\\x^2-5x-72=40x-x^2\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}y=40-x\\2x^2-45x-72=0\end{array}\right\\\\\\2x^2-45x-72=0\ \ ,\ \ x_{1,2}=\dfrac{45\pm \sqrt{45^2+2\cdot 4\cdot72}}{4}=\dfrac{45\pm 51}{4}\ \ ,\\\\x_1=-1,5\ \ ,\ \ x_2=24$

Длина не может быть отрицательной поэтому выбираем корень х=24 ,  тогда    $y=40-x=40-24=16$   .

$S_1=24\cdot 16=384$  

Площадь первоначального прямоугольника равна 384 см² .  

Answer 2

Для начала определим уравнения, основанные на условии задачи. Пусть длина прямоугольника равна L, а ширина равна W. Тогда периметр прямоугольника равен 2L + 2W, что по условию равно 80 см. Таким образом, у нас есть уравнение:

2L + 2W = 80

Также по условию задачи известно, что если увеличить длину прямоугольника на 6 см и уменьшить ширину на 12 см, то его площадь уменьшится на 6 см². Имеем уравнение:

(L + 6)(W - 12) = LW - 6

Теперь решим систему уравнений, чтобы определить площадь первоначального прямоугольника.

Решение:

1. Начнем с уравнения периметра: 2L + 2W = 80. Разделим обе части этого уравнения на 2, получим L + W = 40. 2. Затем решим уравнение площади: (L + 6)(W - 12) = LW - 6. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: LW - 6 + 6L - 12W + 72 = LW - 6. Упростим уравнение, убрав одинаковые члены со сходными переменными: 6L - 12W + 66 = 0. 3. Подставим L = 40 - W (из уравнения периметра) в уравнение площади: 6(40 - W) - 12W + 66 = 0. 4. Раскроем скобки и упростим уравнение: 240 - 6W - 12W + 66 = 0. Получим -18W + 306 = 0, что приводит к -18W = -306 и W = 17. 5. Теперь найдем L, используя L + W = 40: L + 17 = 40, L = 40 - 17, L = 23.

Итак, после решения системы уравнений мы получаем значения длины (L) равное 23 см и ширины (W) равное 17 см. Теперь мы можем найти площадь первоначального прямоугольника, используя формулу площади прямоугольника: S = L * W.

Ответ:

Площадь первоначального прямоугольника равна 23 см * 17 см = 391 см².