Question

Касательная к графику f(x)=3x+7e^x параллельна прямой у=10x+14. Найдите абциссу точки касания.

Answer 1

$Y=f(a)+f'(a)*(x-a)$ - уравнение касательной в точке а
$f(a)=3a+7e^{a}$
$f'(a)=3+7e^{a}$
$Y=3a+7e^{a}+(3+7e^{a})*(x-a)=(3+7e^{a})*x+3a+7e^{a}-3a-7ae^{a}$$(3+7e^{a})*x+(7e^{a}-7ae^{a})$

Касательная параллельна прямой - это означает, что у функций должен совпадать коэффициент перед х:
$3+7e^{a}=10$
$7e^{a}=7$
$e^{a}=1=e^{0}$
$a=0$ - абсцисса точки касания

Answer 2

Нахождение абсциссы точки касания касательной

Для того чтобы найти абсциссу точки касания касательной к графику функции \(f(x) = 3x + 7e^x\) параллельной прямой \(y = 10x + 14\), мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем производную функции \(f(x)\) для определения наклона касательной. 2. Найдем наклон \(m\) прямой \(y = 10x + 14\), так как касательная параллельна этой прямой. 3. Найдем точку касания, используя найденные значения наклона.

1. Нахождение производной функции \(f(x)\)

Функция \(f(x) = 3x + 7e^x\) представляет собой сумму двух функций: линейной функции \(3x\) и экспоненциальной функции \(7e^x\). Производная функции \(f(x)\) будет равна сумме производных этих двух функций: \[f'(x) = 3 + 7e^x\]

2. Нахождение наклона прямой

Прямая \(y = 10x + 14\) имеет наклон \(m = 10\), так как коэффициент при \(x\) определяет наклон прямой в общем уравнении прямой \(y = mx + c\).

3. Нахождение точки касания

Так как касательная параллельна прямой, то ее наклон будет таким же, т.е. \(m = 10\). Теперь мы можем найти точку касания, используя найденный наклон и производную функции \(f(x)\).

Теперь найдем абсциссу \(x_0\) точки касания, используя формулу: \[f'(x_0) = m\] \[3 + 7e^{x_0} = 10\] \[7e^{x_0} = 10 - 3\] \[7e^{x_0} = 7\] \[e^{x_0} = 1\] \[x_0 = 0\]

Таким образом, абсцисса точки касания равна \(x_0 = 0\).