Question

вычислить значение производной u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t) при t=t0 с точностью до двух знаков после запятой: u=(y^2)/x, x=1-2t, y=1+arctg(t), t0=0 (ответ 4).

Answer 1

Відповідь:

4

Пояснення:

$u=\frac{y^2}{x} \\x=1-2t\\y=1+arctg(t)\\u=\frac{(1+arctg(t))^2}{1-2t} \\u'=\frac{2(1+arctg(t))(1+arctg(t))'(1-2t)-(1+arctg(t))^2(1-2t)'}{(1-2t)^2} =\\=\frac{2(1+arctg(t))\frac{1}{1+t^2}+2 (1+arctg(t))^2}{(1-2t)^2} \\u'(0)=\frac{2(1+arctg(0))\frac{1}{1+0^2}+2 (1+arctg(0))^2}{(1-2*0)^2}=\frac{2(1+0)\frac{1}{1+0}+2 (1+0)^2}{(1-0)^2}=\frac{2+2}{1} =\frac{4}{1} =4$

Answer 2

Для вычисления значения производной u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t) при t=t0, нужно использовать правило цепочки, которое гласит: du/dt = (du/dx)(dx/dt) + (du/dy)(dy/dt). Для этого сначала найдем частные производные u по x и по y, а также производные x и y по t. Имеем:

u = (y^2)/x du/dx = -(y^2)/(x^2) du/dy = 2y/x

x = 1 - 2t dx/dt = -2

y = 1 + arctg(t) dy/dt = 1/(1 + t^2)

Подставляя t0 = 0, получаем:

x(0) = 1 y(0) = 1 + arctg(0) = 1 + 0 = 1

du/dt|_(t=0) = (du/dx)(dx/dt) + (du/dy)(dy/dt)|_(t=0) = (-(y^2)/(x^2))(-2) + (2y/x)(1/(1 + t^2))|_(t=0) = (-(1^2)/(1^2))(-2) + (2(1)/(1))(1/(1 + 0^2))|_(t=0) = 2 + 2 = 4

Ответ: значение производной u=u(x,y), где x=x(t), y=y(t) при t=t0=0 с точностью до двух знаков после запятой равно 4.00.