Question

Помогите!!Срочно нужно!! Тема: арифметическая и геометрическая прогресииДокажите, что для любого натурального значения n выполняется равенство1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1)= n(n+1)^2^2 это значит выражение в квадрате

Answer 1

При n = 1 равенство примет вид 4 = 4, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1)= n(n+1)^2

Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = (n + 1)(n + 2)^2
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)

1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4) 

получим

n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4)  = (n + 1) (n (n + 1) + 3n + 4) = 
= (n + 1)(n^2 + n + 3n + 4) = (n + 1) (n^2 + 4n + 4) = 
= (n+ 1)(n + 2)^2 

то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Answer 2

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Проверим, выполняется ли равенство при n = 1: 1 * (3*1 + 1) = 1 * 4 = 4 1 * ((1 + 1)^2) = 1 * 2^2 = 4

Таким образом, базовый шаг выполнен.

Предположение индукции:

Предположим, что равенство выполняется для некоторого натурального k, то есть: 1 * (3*1 + 1) + 2 * (3*2 + 1) + ... + k * (3*k + 1) = k * ((k + 1)^2)

Индукционный шаг:

Докажем, что равенство выполняется для n = k + 1, используя предположение индукции: 1 * (3*1 + 1) + 2 * (3*2 + 1) + ... + k * (3*k + 1) + (k + 1) * (3*(k + 1) + 1)

Мы можем раскрыть скобки и привести подобные члены: (3 + 6 + ... + 3k) + (1 + 2 + ... + k) + (3k + 4k + 5k + ... + (k + 1))

Для удобства, перепишем каждую группу чисел в виде суммы: 3*(1 + 2 + ... + k) + 1*(1 + 2 + ... + k) + k*(k + 1)

Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии: 3*(k*(k + 1)/2) + 1*(k*(k + 1)/2) + k*(k + 1)

Объединяя подобные члены, получаем: (3 + 1 + k)*(k*(k + 1)/2)

Мы также можем упростить выражение (k + 4): (k + 4)*(k*(k + 1)/2) = (k^2 + 4k)*(k + 1)/2

Мы можем продолжить упрощение: (k^2 + 4k)*(k + 1)/2 = (k^3 + 4k^2 + k^2 + 4k)/2 = (k^3 + 5k^2 + 4k)/2 = k*(k + 1)^2

Таким образом, мы доказали, что равенство выполняется для n = k + 1.

Заключение:

Мы доказали, что для любого натурального значения n выполняется равенство: 1 * (3*1 + 1) + 2 * (3*2 + 1) + ... + n * (3*n + 1) = n * (n + 1)^2

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.