Question

F(x)=x^4+1/x^2 Найти монотонность, экстремумы, выпуклость, точка перегиба

Answer 1

Ответ:

Промежутки монотонности :

Возрастает   когда   $x\in[ -1 ~ ; ~ 0~ ) \cup [~1~ ; ~ \infty ~)$

Убывает когда  $x\in(~- \infty ~ ;~ -1 ~] \cup ( ~0 ~; ~1 ~]$

Экстремумы :

$x = 1 ~ ; ~ y = 2\\\\ x = -1 ~ ; ~ y = 2$

Выпуклость :

В  промежутке  $( - \infty ~ ; ~ 0~ )$  функция выпукла

В промежутке  $(~ 0 ~;~ \infty ~)$   функция вогнута

Объяснение:

Находим  промежутки монотонности

$\displaystyle F'(x) =\bigg( \frac{x^4+1}{x^2} \bigg)'= \frac{(x^4+1)'x^2- (x^4+1)(x^2)'}{x^4} = \\\\\\ =\frac{4x^5 - 2x^5 -2x}{x^4} = \frac{2x^5 -2x}{x^4} = \frac{2x(x^ 4 -1)}{x^4} = \frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$

$\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}=0$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.85,-0.3) { -1} \put(1 ,0.1){ \Large \text{~~~~ +} } \put(.3 ,0.1){ \LARGE \text{--- } } \put(2.25 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(3.1 ,0.1){ \Large \text{ ~~+} } \put(1,0){\circle*{0.05}} \put(2,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.05}} \put(2.98,-0.3) {\sf 1 }\put(3,0){\circle*{0.05}} \ \put(0,0){\vector (1,0){4}} \end{picture}$

$\LARGE \boldsymbol{ \Uparrow }$  Возрастает   когда   $x\in[ -1 ~ ; ~ 0~ ) \cup [~1~ ; ~ \infty ~)$

$\LARGE \boldsymbol{ \Downarrow }$  Убывает когда  $x\in(~- \infty ~ ;~ -1 ~] \cup ( ~0 ~; ~1 ~]$

Экстремумы

$x = 1 ~ ; ~ y = 2\\\\ x = -1 ~ ; ~ y = 2$

Находим выпуклость

Вогнута когда :

$F''(x) > 0$

Выпукла когда :

$F''(x) < 0$

$\displaystyle F''(x) =\bigg( \frac{x^4+1}{x^2} \bigg)''= \bigg ( \frac{2(x^4-1)}{x^3} \bigg )' = \frac{2(x^4-1)'x^3 - 2(x^4-1)(x^3)'}{x^6} = \\\\\\ =\frac{2\cdot 4x^3\cdot x^3 - 2(x^4-1)\cdot 3x^2 }{x^6 } = \frac{8x^6 -6x^6 +6x^2}{x^6} = \frac{2x^4 +6}{x^4}$

$\displaystyle \frac{2x^4 +6}{x^4}=0$

точек перегиба нет , т.к  

$2x^4 + 6 =0 \\\\ 2x^4 = -6 ~ ~ \varnothing$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(1.45,-0.3) {\sf 0} \put(.4 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(2 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1.5,0){\circle{0.05}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

В  промежутке  $( - \infty ~ ; ~ 0~ )$  функция выпукла

В промежутке  $(~ 0 ~;~ \infty ~)$   функция вогнута

Answer 2

Для функции F(x) = x^4 + 1/x^2, мы можем анализировать монотонность, экстремумы, выпуклость и точку перегиба, используя производные и вторые производные функции.

Монотонность функции

Для анализа монотонности функции, мы должны найти ее производную и определить знак производной на различных интервалах.

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = 4x^3 - 2/x^3

2. Решим уравнение F'(x) = 0, чтобы найти критические точки: 4x^3 - 2/x^3 = 0 4x^6 - 2 = 0

Решая это уравнение, мы получаем два значения x: x = (2/4)^(1/6) и x = -(2/4)^(1/6).

3. Теперь мы можем построить таблицу знаков производной F'(x) на различных интервалах:

| Интервал | Знак F'(x) | |------------|----------------| | (-∞, -(2/4)^(1/6)) | - | | (-(2/4)^(1/6), (2/4)^(1/6)) | + | | ((2/4)^(1/6), +∞) | + |

Из этой таблицы знаков мы можем сделать следующие выводы о монотонности функции F(x): - Функция F(x) убывает на интервале (-∞, -(2/4)^(1/6)). - Функция F(x) возрастает на интервале (-(2/4)^(1/6), (2/4)^(1/6)). - Функция F(x) возрастает на интервале ((2/4)^(1/6), +∞).

Экстремумы функции

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны исследовать значения производной функции F'(x) и проверить, где она меняет знак.

1. Из таблицы знаков производной F'(x) мы видим, что F'(x) меняет знак с отрицательного на положительный на интервале (-(2/4)^(1/6), (2/4)^(1/6)). Это означает, что у функции F(x) есть локальный минимум на этом интервале.

2. Чтобы найти значение локального минимума, мы можем подставить критические точки в функцию F(x): F((2/4)^(1/6)) и F(-(2/4)^(1/6))

Зная эти значения, мы можем сказать, что функция F(x) имеет локальный минимум в точках ((2/4)^(1/6), F((2/4)^(1/6))) и (-(2/4)^(1/6), F(-(2/4)^(1/6))).

Выпуклость функции

Чтобы найти выпуклость функции, мы должны исследовать знак второй производной функции F''(x) на различных интервалах.

1. Найдем вторую производную функции F(x): F''(x) = 12x^2 + 6/x^4

2. Теперь мы можем построить таблицу знаков второй производной F''(x) на различных интервалах:

| Интервал | Знак F''(x) | |------------|----------------| | (-∞, 0) | + | | (0, +∞) | + |

Из этой таблицы знаков мы можем сделать вывод о выпуклости функции F(x): - Функция F(x) является выпуклой на всей области определения.

Точка перегиба функции

Точка перегиба функции - это точка, где меняется выпуклость функции. Чтобы найти точку перегиба, мы должны исследовать значения второй производной F''(x) и проверить, где она меняет знак.

Из таблицы знаков второй производной F''(x) мы видим, что F''(x) не меняет знак на всей области определения функции F(x). Это означает, что у функции F(x) нет точек перегиба.

В итоге, мы можем сделать следующие выводы о функции F(x) = x^4 + 1/x^2: - Функция F(x) убывает на интервале (-∞, -(2/4)^(1/6)). - Функция F(x) возрастает на интервале (-(2/4)^(1/6), (2/4)^(1/6)). - Функция F(x) возрастает на интервале ((2/4)^(1/6), +∞). - У функции F(x) есть локальный минимум в точках ((2/4)^(1/6), F((2/4)^(1/6))) и (-(2/4)^(1/6), F(-(2/4)^(1/6))). - Функция F(x) является выпуклой на всей области определения. - У функции F(x) нет точек перегиба.