Question

Исследовать данную функцию на монотонность и экстремумы,выпуклость и построить график: y=x^3+6x^2+9x+1.

Answer 1

Y`=3x²+12x+9
y`=0
3x²+12x+9=0
3(x²+4x+3)=0
D=4²-4·3=16-12=4
x=(-4-2)/2=-3  x=(-4+2)/2=-1
знак производной
___+___(-3)___-___(-1)__+___

функция возрастает на (-∞;-3)U(-1;+∞)  и убывает на (-3;-1)
х=-3 точка максимума        у(-3)=(-3)³+6·(-3)²+9·(-3)+1=1
х=-1- точка минимума у(-1)=(-1)³+6·(-1)²+9·(-1)+1=-1+6-9+1=-4

y``=(3x²+12x+9)`=6x+12
y``=0
6x+12=0
x=-2
На (-∞;-2)    у``<0 функция выпукла вверх  (как раскрытый вверх зонтик)
На (-2;+∞)  y``>0  функция выпукла вниз

х=-2 - точка перегиба

Answer 2

Исследование функции на монотонность и экстремумы

Данная функция имеет вид: y = x^3 + 6x^2 + 9x + 1.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, необходимо найти ее производную и решить уравнение f'(x) = 0.

Производная функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 1 равна: f'(x) = 3x^2 + 12x + 9.

Для нахождения экстремумов, решим уравнение f'(x) = 0:

3x^2 + 12x + 9 = 0.

Решая это уравнение, получим два значения x: x = -1 и x = -3.

Теперь, чтобы определить, являются ли найденные значения экстремумами, необходимо проанализировать знаки производной в окрестностях этих точек.

Подставим значения x = -1 и x = -3 в производную функции f'(x):

- При x = -1: f'(-1) = 3*(-1)^2 + 12*(-1) + 9 = 0. - При x = -3: f'(-3) = 3*(-3)^2 + 12*(-3) + 9 = 0.

Из полученных значений видно, что функция имеет горизонтальные точки перегиба в точках x = -1 и x = -3.

Исследование функции на выпуклость

Для исследования функции на выпуклость, необходимо найти вторую производную и проанализировать ее знак.

Вторая производная функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 1 равна: f''(x) = 6x + 12.

Анализируя знак второй производной, можно сделать следующие выводы:

- Если f''(x) > 0, то функция выпукла вверх. - Если f''(x) < 0, то функция выпукла вниз.

Подставим значения x = -1 и x = -3 во вторую производную функции f''(x):

- При x = -1: f''(-1) = 6*(-1) + 12 = 6. - При x = -3: f''(-3) = 6*(-3) + 12 = -6.

Из полученных значений видно, что функция является выпуклой вверх в точке x = -1 и выпуклой вниз в точке x = -3.

Построение графика функции

Для построения графика функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 1, воспользуемся полученными данными об экстремумах и выпуклости.

График функции будет иметь следующий вид:


На графике видно, что функция имеет минимум в точке x = -3 и максимум в точке x = -1.

Пожалуйста, обратите внимание, что график предоставлен только для наглядности и может не соответствовать масштабу или точности.