Question

Чи правильна дана нерівність:(a +b)(4+ab) ≥ 8ab.  якщо a < 0, b < 0?​

Answer 1

Ответ : Ні

Підставимо числа а = -1 , b = -2

(-1-2)(4 + 2) > 8 x 2

-3 x 6 > 16

-18<16

Answer 2

Давайте розглянемо дану нерівність і перевіримо, чи вона виконується при умовах \(a < 0\) та \(b < 0\):

\[ (a + b)(4 + ab) \geq 8ab \]

Почнемо з розкриття дужок:

\[ 4a + ab + 4b + ab^2 \geq 8ab \]

Тепер спростимо вираз:

\[ 4a + 4b + ab + ab^2 \geq 8ab \]

Переносимо всі члени в ліву частину нерівності:

\[ 4a + 4b + ab + ab^2 - 8ab \geq 0 \]

Тепер об'єднаємо подібні члени:

\[ 4a + 4b + ab(1 - 8b) \geq 0 \]

Тепер розділимо на \(a\), при цьому слід врахувати, що \(a < 0\) і \(b < 0\):

Якщо \(a < 0\), то домноження на від'ємне число не змінює напрямок нерівності.

Якщо \(b < 0\), то домноження на від'ємне число також не змінює напрямок нерівності.

Отже, можна поділити обидві сторони на \(a\) без зміни напрямку нерівності:

\[ 4 + 4\frac{b}{a} + (1 - 8b) \geq 0 \]

Оскільки \(a < 0\), можемо помножити обидві сторони на \(-1\), змінивши напрямок нерівності:

\[ -4 - 4\frac{b}{a} - (1 - 8b) \leq 0 \]

Тепер можемо скоротити деякі члени:

\[ -5 - 4\frac{b}{a} + 8b \leq 0 \]

Таким чином, отримали нерівність:

\[ -5 + 8b - 4\frac{b}{a} \leq 0 \]

Ця нерівність буде виконуватися при \(a < 0\) і \(b < 0\).