Question

Помогите решить уравнение 2 sin²x + 3sin x cos x + cos²x = 0​

Answer 1

Это однородное уравнение второй степени . Решим его делением обеих частей уравнения на Сos²x ,  Cosx≠ 0 .

$\displaystyle\bf\\2Sin^{2} x+3Sinx Cosx+Cos^{2} x=0\\\\\frac{2Sin^{2} x}{Cos^{2} x} +\frac{3Sinx Cosx}{Cos^{2} x} +\frac{Cos^{2} x}{Cos^{2}x } =0\\\\\\2tg^{2} x+3tgx+1=0\\\\tgx=m\\\\2m^{2} +3m+1=0\\\\D=3^{2} -4\cdot 2\cdot 1=9-8=1\\\\\\m_{1} =\frac{-3-1}{4} =-1\\\\\\m_{2} =\frac{-3+1}{4} =-\frac{1}{2} \\\\1)\\\\tgx=-1\\\\x=arc tg(-1)+\pi n, \ n\in Z\\\\x=-\frac{\pi }{4} +\pi n, \ n\in Z\\\\2)\\\\tgx=-\frac{1}{2} \\\\x=-arc tg\frac{1}{2} +\pi n \ , \ n\in Z$

$\displaystyle\bf\\Otvet \ : \ -\frac{\pi }{4} +\pi n, \ n\in Z \ \ ; \ \ -arc tg\frac{1}{2} +\pi n \ , \ n\in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Шаг 1: Приведение уравнения к более удобному виду Для начала, заметим, что данное уравнение содержит как синусы, так и косинусы. Чтобы избавиться от косинусов, воспользуемся тригонометрической формулой sin²x + cos²x = 1. Заменим cos²x в исходном уравнении на 1 - sin²x:

2sin²x + 3sinx + cosx + (1 - sin²x) = 0

Теперь у нас есть уравнение только с синусами.

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду Для приведения уравнения к квадратному виду, сгруппируем члены синусов:

(2sin²x - sin²x) + 3sinx + cosx + 1 = 0

Упростим:

sin²x + 3sinx + cosx + 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения Полученное уравнение является квадратным относительно sinx. Давайте обозначим sinx как t и решим уравнение относительно t:

t² + 3t + cosx + 1 = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать квадратное уравнение, применив формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = 3 и c = cosx + 1.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения Вычислим дискриминант:

D = 3² - 4(1)(cosx + 1) D = 9 - 4cosx - 4 D = 5 - 4cosx

Шаг 5: Разбор случаев Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значения дискриминанта D:

1. Если D < 0, то уравнение не имеет решений, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен.

2. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение.

3. Если D > 0, то уравнение имеет два решения.

Шаг 6: Обратная замена После нахождения решений для t, мы можем вернуться к исходному уравнению и найти значения x. Восстановим значение sinx из t и решим для x.

Пожалуйста, уточните, какое значение x вас интересует или предоставьте дополнительную информацию, чтобы я мог продолжить решение уравнения.