Question

При каких значениях a функции y=ax^3-3x^2+2x убывает на всей числовой прямой

Answer 1

Функция убывает при тех х, при которых y'<0. В данном случае y'=3ax^2-6x+2. Приравняв y' к 0, получим квадратное уравнение, дискриминант которого D=36-4*3a*2=36-24a. Чтобы производная была всюду отрицательна, это уравнение не должно иметь корней, а для этого должно быть D=36-24a<0, т.е. а>3/2. Однако при a>0 производная не может быть отрицательной на всей числовой оси, т.к. при этом её график, представляющий собой параболу, имеет направленные вверх ветви. При a<0 D>0, т.е. производная отрицательна при одних х, положительна при других и обращается в 0 в третьих. Остаётся случай a=0, тогда функция принимает вид 3x^+2x, её производная отрицательна при x<-1/3, при x=-1/3 равна нулю, а при x>-1/3 положительна, т.е. здесь функция возрастает. 
Ответ: искомых значений не существует. 

Answer 2

Функция y=ax^3-3x^2+2x будет убывать на всей числовой прямой, если коэффициент a будет отрицательным. То есть, при значениях a < 0 функция будет убывать на всей числовой прямой.