Question

СРОЧНО!! Знайти площу фігури, обмеженої графікоми функцій y = x² - 3x + 2 i y = -x² - 5x + 6 (запишіть з поясненням і обґрунтуванням)

Answer 1

Ответ:

S = -10/3

Объяснение:

x² - 3x + 2 = -x² - 5x + 6

2x² + 2x - 4 = 0

x² + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x = -2 або x = 1

При x = -2:

y = (-2)² - 3(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12

При x = 1:

y = 1² - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

маєио дві точки: (-2, 12) та (1, 0)

S = ∫(y2 - y1)dx(інтеграл від -2 до 1), y1 = x² - 3x + 2   та  y2 = -x² - 5x + 6

S = ∫[(x² - 3x + 2) - (-x² - 5x + 6)]dx, від x = -2 до x = 1

S = ∫[(2x² + 8x - 4)]dx, від x = -2 до x = 1

S = [2/3*x³ + 4x² - 4x] від x = -2 до x = 1

S = [2/31³ + 41² - 41] - [2/3(-2)³ + 4*(-2)² - 4*(-2)]

S = [2/3 + 4 - 4] - [-8/3 + 16 + 8]

S = 2/3 + 4 - 4 + 8/3 - 16 - 8

S = 2/3 + 8/3 - 4 - 16 - 8

S = -10/3

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій y = x² - 3x + 2 та y = -x² - 5x + 6, треба спочатку знайти точки перетину цих двох функцій. Ці точки перетину будуть визначати межі фігури.

Для цього, прирівняємо дві функції одна до одної і розв'яжемо рівняння:

x² - 3x + 2 = -x² - 5x + 6

Просумуємо обидві сторони рівняння:

2x² - 8x + 4 = 0

Поділимо обидві сторони на 2:

x² - 4x + 2 = 0

Тепер ми можемо застосувати квадратне рівняння. Використовуючи квадратну формулу, отримаємо:

x = (-(-4) ± √((-4)² - 4*1*2)) / (2*1)

x = (4 ± √(16 - 8)) / 2

x = (4 ± √8) / 2

x = (4 ± 2√2) / 2

x = 2 ± √2

Отже, ми отримали дві точки перетину: x = 2 + √2 та x = 2 - √2.

Тепер, щоб знайти відповідні значення y, підставимо ці значення x у одну з функцій. Давайте візьмемо y = x² - 3x + 2:

Підставимо x = 2 + √2:

y = (2 + √2)² - 3(2 + √2) + 2

y = 4 + 4√2 + 2 + √2 - 6 - 3√2 + 2

y = √2 - √2 + 2 + 2 + 4√2 - 3√2

y = 2√2 + 4 - √2

Аналогічно, підставимо x = 2 - √2:

y = (2 - √2)² - 3(2 - √2) + 2

y = 4 - 4√2 + 2 - √2 - 6 + 3√2 + 2

y = -√2 + √2 + 2 + 2 - 4√2 + 3√2

y = -√2 + 5 - √2

y = -2√2 + 5

Отже, ми отримали дві точки перетину: (2 + √2, 2√2 + 4 - √2) та (2 - √2, -2√2 + 5).

Тепер ми можемо використовувати ці точки як межі фігури для обчислення її площі. Площа фігури буде рівна сумі площ під кривими між цими точками.

Площу під кривими можна обчислити за допомогою відповідного інтегралу:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a та b - це точки перетину, f(x) - це перша функція, а g(x) - друга функція.

Підставимо значення a = 2 - √2 та b = 2 + √2, f(x) = x² - 3x + 2, g(x) = -x² - 5x + 6, і обчислимо інтеграл:

S = ∫[2 - √2, 2 + √2] (x² - 3x + 2 - (-x² - 5x + 6)) dx

S = ∫[2 - √2, 2 + √2] (2x² + 2x - 4) dx

S = [2/3x³ + x² - 4x] [2 - √2, 2 + √2]

S = (2/3(2 + √2)³ + (2 + √2)² - 4(2 + √2)) - (2/3(2 - √2)³ + (2 - √2)² - 4(2 - √2))

Обчислимо це числово:

S = (2/3(2 + √2)³ + (2 + √2)² - 4(2 + √2)) - (2/3(2 - √2)³ + (2 - √2)² - 4(2 - √2))

S ≈ 5.828

Отже, площа фігури, обмеженої графіками цих двох функцій, приблизно дорівнює 5.828.