Question

Знайдіть проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції y=x^2-6x

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб знайти проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції \(y = x^2 - 6x\), спочатку потрібно знайти похідні першого та другого порядку цієї функції за змінною \(x\). Після цього можна аналізувати їхні значення та виводити висновки про монотонність та екстремуми.

1. Знаходження похідних: \[y = x^2 - 6x\]

Перша похідна: \[y' = 2x - 6\]

Друга похідна: \[y'' = 2\]

2. Проміжки монотонності: - Монотонність залежить від знаку першої похідної. - Коли \(y' > 0\), функція зростає. - Коли \(y' < 0\), функція спадає.

Знаходимо точки, де \(y' = 0\): \[2x - 6 = 0 \implies x = 3\]

Тепер розглянемо проміжки: - Коли \(x < 3\), \(y' < 0\), тобто функція спадає. - Коли \(x > 3\), \(y' > 0\), тобто функція зростає.

Таким чином, функція монотонно спадає на \((-\infty, 3)\) і монотонно зростає на \((3, +\infty)\).

3. Точки екстремуму та значення функції в цих точках: - Так як \(y'' = 2 > 0\), це означає, що точка \(x = 3\) є точкою мінімуму. - Знаходимо відповідне значення \(y\) при \(x = 3\): \[y(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9\]

Таким чином, єдиний екстремум у цій функції - це мінімум, і він рівний \((-9)\).

Отже, узагальнюючи, функція \(y = x^2 - 6x\) монотонно спадає на \((-\infty, 3)\), монотонно зростає на \((3, +\infty)\), і має точку мінімуму в \(x = 3\) зі значенням \(y = -9\).