Question

Знайти найбільше та найменше значення функції на даному проміжку: 1) f(x) = x^4 - 4x^2 + 2, [- 2; 1]2) f(x) = 4x ^ 3 - x |x - 2|, [0; 3]​

Answer 1

1) Для пошуку мінімальних та максимальних значень функції на закритому проміжку, необхідно знайти значення функції в критичних точках і на границях проміжку.

f(x) = x^4 - 4x^2 + 2

Знайдемо похідну:

f'(x) = 4x^3 - 8x

Прирівняємо її до нуля для визначення критичних точок:

4x^3 - 8x = 0

4x(x^2 - 2) = 0

x = 0, x = √2, x = -√2

З цих точок лише x = -√2 і x = 0 належать проміжку [-2; 1]. Тепер обчислимо значення функції в цих точках та на границях проміжку:

f(-2) = 16 - 16 + 2 = 2

f(-√2) ≈ -√2^4 + 4*√2^2 + 2 ≈ 2

f(0) = 0 - 0 + 2 = 2

f(1) = 1 - 4 + 2 = -1

Таким чином, мінімальне значення функції на проміжку [-2; 1] становить -1, а максимальне значення - 2.

2) Для функції f(x) = 4x^3 - x|x - 2| необхідно розглядати випадки, коли x < 2 і x > 2, оскільки функція містить модуль, який змінює знак в точці x = 2.

Для x < 2: f(x) = 4x^3 - x(2 - x) = 4x^3 - 2x + x^2

Для x > 2: f(x) = 4x^3 - x(x - 2) = 4x^3 - x^2 + 2x

Критичні точки для цих випадків знаходимо через похідні та рівняння f'(x) = 0, але з урахуванням проміжку [0; 3] критичні точки не потрібно розглядати.

Обчислимо значення функції на границях проміжку:

f(0) = 4*0^3 - 0|0 - 2| = 0

f(3) = 4*3^3 - 3|3 - 2| = 108

Мінімальне значення функції на проміжку [0; 3] становить 0, а максимальне значення - 108.

Зверніть увагу, що в разі неперервних функцій, що мають похідну, глобальні екстремуми можуть знаходитися на кінцях проміжку або в критичних точках, де перший або другий похідні дорівнюють нулю або не існують. У наших прикладах, критичні точки відсутні на заданих проміжках, тому ми розглядали лише границі проміжків.

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функцій на заданих проміжках, спершу визначимо критичні точки та кінцеві точки області.

1) Для функції \(f(x) = x^4 - 4x^2\) на проміжку \([-2, 1]\):

a) Знайдемо похідну функції \(f'(x)\): \[f'(x) = 4x^3 - 8x\] b) Розв'яжемо рівняння \(f'(x) = 0\) для знаходження критичних точок: \[4x^3 - 8x = 0\] \[4x(x^2 - 2) = 0\] \[x(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) = 0\] Отримуємо три критичні точки: \(x = 0\), \(x = -\sqrt{2}\) та \(x = \sqrt{2}\). c) Визначимо значення функції в критичних точках та на кінцях проміжку: \[f(-2), f(-\sqrt{2}), f(0), f(\sqrt{2}), f(1)\] Отримані значення допоможуть визначити найбільше та найменше значення функції.

2) Для функції \(f(x) = 4x^3 - x|x - 2|\) на проміжку \([0, 3]\):

a) Знайдемо похідну функції \(f'(x)\): \[f'(x) = 12x^2 - |x - 2| - x \cdot \text{sgn}(x - 2)\] де \(\text{sgn}(x)\) - це функція знаку (\(\text{sgn}(x) = -1\) для \(x < 0\), \(\text{sgn}(x) = 0\) для \(x = 0\), \(\text{sgn}(x) = 1\) для \(x > 0\)). b) Розв'яжемо рівняння \(f'(x) = 0\) для знаходження критичних точок. Далі продовжимо з аналогічним алгоритмом, як у пункті 1).

Після визначення значень функцій в критичних точках та на кінцях проміжків, оберемо найбільше та найменше значення серед них.