Question

Складіть рівняння дотичноï до графіка функції f(x)=x³+x, у точці хо=-1​

Answer 1

Відповідь:       у = 4х + 2 .

Пояснення:

      Функція f(x)=x³+x ,   у точці х₀ = - 1 .    

   Рівняння дотичноï до графіка функції    y = f( x₀ ) + f '( x₀ )( x - x₀ ) .

    f( - 1 ) = (- 1 )³ + (- 1 ) = - 1 - 1 = - 2 ;

    f '( x ) = ( x³ + x )' = 3x² + 1 ;     f '(- 1 ) = 3 * (- 1 )² + 1 = 3 + 1 = 4 .

    Підставимо значення у рівняння :

            у = - 2 + 4* ( х + 1 ) = - 2 + 4х + 4 = 4х + 2 ;   у = 4х + 2 .

Answer 2

Звичайно! Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^3 + x\) у точці \(x_0 = -1\), спочатку знайдемо похідну цієї функції. Похідна функції \(f(x)\) визначається як швидкість зміни \(y\) відносно \(x\) і показує нахил кривої в кожній точці.

\[f(x) = x^3 + x\]

Знайдемо похідну функції \(f(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + x)\]

Для обчислення похідної використовуємо правила диференціювання. Зокрема, сума похідних дорівнює похідній суми та правило диференціювання степеневої функції:

\[f'(x) = 3x^2 + 1\]

Тепер ми маємо похідну функції \(f(x)\), яка показує нахил кривої у кожній точці. Щоб знайти нахил (або коефіцієнт наклона) кривої у точці \(x_0 = -1\), підставимо \(x_0 = -1\) у похідну:

\[f'(-1) = 3(-1)^2 + 1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4\]

Отже, нахил кривої функції \(f(x)\) у точці \(x = -1\) дорівнює 4.

Тепер ми можемо використати формулу для рівняння прямої (дотичної):

\[y - y_0 = m(x - x_0)\]

де \(m\) - нахил дотичної прямої, \((x_0, y_0)\) - координати точки, до якої проводимо дотичну.

Ми вже знайшли, що нахил дотичної \(m = 4\), і точка дотику \(x_0 = -1, y_0 = f(-1)\). Знайдемо \(y_0 = f(-1)\):

\[f(-1) = (-1)^3 + (-1) = -1 - 1 = -2\]

Отже, точка дотику це \((-1, -2)\). Тепер можемо записати рівняння дотичної:

\[y - (-2) = 4(x - (-1))\] \[y + 2 = 4(x + 1)\] \[y = 4x + 4 - 2\] \[y = 4x + 2\]

Отже, рівняння дотичної до графіка функції \(f(x) = x^3 + x\) у точці \(x = -1\) це \(y = 4x + 2\).