Question

Знайти похідні функції 1) f(x)=(√x-2)(5-6√x) 2) f(x)=2x^2/sinx

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Спочатку знайдемо похідну добутку двох функцій за формулою добутку:

f(x) = (√x - 2)(5 - 6√x)

f'(x) = ((√x - 2) * (-3/√x) + (5 - 6√x) * (1/√x^2 * 6))(2x)

Після спрощення:

f'(x) = (-3√x + 30 - 36 + 30√x) / x^2

f'(x) = (27√x - 6) / x^2

Знайдемо похідну за формулою частинного ділення:

f(x) = 2x^2/sinx

f'(x) = (2(sin(x) * 4x) - 2x^2(cos(x))) / (sinx)^2

f'(x) = 2x(2sin(x) - xcos(x)) / (sinx)^2

Отже, похідні функції:

f'(x) = (27√x - 6) / x^2

f'(x) = 2x(2sin(x) - xcos(x)) / (sinx)^2

Answer 2

Звідси виходять обидві задачі:

1) \(f(x) = (\sqrt{x} - 2)(5 - 6\sqrt{x})\)

2) \(f(x) = \frac{2x^2}{\sin x}\)

Задача 1:

Давайте знайдемо похідну функції \(f(x)\) за допомогою правила добутку і ланцюгового правила.

Позначимо: \[ u(x) = \sqrt{x} - 2 \] \[ v(x) = 5 - 6\sqrt{x} \]

Тоді: \[ f(x) = u(x) \cdot v(x) \]

Застосуємо правило добутку: \[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

Знайдемо похідні окремих частин:

\[ u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ v'(x) = -6 \]

Підставимо їх в формулу для похідної: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (5 - 6\sqrt{x}) + (\sqrt{x} - 2) \cdot (-6) \]

Спростимо вираз: \[ f'(x) = \frac{5 - 6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x} + 12 \]

Задача 2:

Знайти похідну функції \(f(x) = \frac{2x^2}{\sin x}\).

Для знаходження похідної використовуємо правило частинного ділення:

\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \]

Позначимо: \[ u(x) = 2x^2 \] \[ v(x) = \sin x \]

Тоді: \[ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} \]

Знайдемо похідні окремих частин: \[ u'(x) = 4x \] \[ v'(x) = \cos x \]

Підставимо їх в формулу для похідної: \[ f'(x) = \frac{(4x \cdot \sin x) - (2x^2 \cdot \cos x)}{(\sin x)^2} \]

Спростимо вираз: \[ f'(x) = \frac{2x(2\sin x - x\cos x)}{\sin^2 x} \]

Отже, ми знайшли похідні для обох функцій.