Question

Дано sin=15/17 альфа є [0;п/2] альфа є [0;90°]. Найти cos альфа, tg альфа, ctg альфа

Answer 1

Найти cos α, tg α, ctg α если sin a = 15/17 и α ∈ [0;п/2].

Ответ:

cos α = 8/17; tg α = 1. 7/8; ctg α = 8/15.

Формулы:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos^2\alpha +\sin^2 \alpha =1\\\\\text{tg}\: \alpha = \frac{\sin \alpha}{ \cos\alpha} \\\\\text{ctg}\: \alpha = \frac{\cos\alpha}{ \sin \alpha}$

Объяснение:

С первой формулы выразим cos a:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos^2\alpha +\sin^2 \alpha =1 \Longrightarrow\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha }$

Подставляем наше значение sin a:

$\LARGE \boldsymbol {} \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2 }=\sqrt{1-\frac{225}{289} }=\\\\\sqrt{\frac{64}{289} } =\pm \frac{8}{17}\\\\\alpha \in [0;\frac{\pi }{2} ] \Longrightarrow \cos \alpha > 0\\\\\boxed{\cos \alpha =\frac{8}{17} }$

Используем вторую формулу и находим тангенс:

$\LARGE \boldsymbol {} \text{tg}\: \alpha = \frac{\sin \alpha}{ \cos\alpha} =\frac{15}{17} \div \frac{8}{17} =\frac{15*\not17}{\not17*8} =\frac{15}{8} =1\frac{7}{8}\\\\\alpha \in [0;\frac{\pi }{2} ] \Longrightarrow \text{tg}\: \alpha > 0\\\\\boxed{ \text{tg}\: \alpha =1\frac{7}{8} }$

Используем третью формулу и находим котангенс:

$\LARGE \boldsymbol {} \text{ctg}\: \alpha = \frac{\cos\alpha}{ \sin \alpha}=\frac{8}{17}\div \frac{15}{17} =\frac{8*\not17}{\not17*15} =\frac{8}{15} \\\\\alpha \in [0;\frac{\pi }{2} ] \Longrightarrow \text{ctg}\: \alpha > 0\\\\\boxed{ \text{ctg}\: \alpha =\frac{8}{15} }$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение: \( \sin(\alpha) = \frac{15}{17} \), где \( \alpha \) находится в интервале от 0 до \( \frac{\pi}{2} \) или от 0 до 90°.

Мы можем использовать тригонометрическую тождественность \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) для нахождения косинуса \( \cos(\alpha) \).

1. Начнем с того, что мы уже знаем: \( \sin(\alpha) = \frac{15}{17} \). 2. Используем тождественность: \( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \). 3. Подставляем значение \( \sin(\alpha) \): \( \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 \). 4. Рассчитываем косинус: \( \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2} \).

Теперь у нас есть значение косинуса \( \alpha \).

Чтобы найти тангенс \( \tan(\alpha) \), мы можем использовать определение тангенса: \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \).

1. Подставляем значения: \( \tan(\alpha) = \frac{\frac{15}{17}}{\sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2}} \).

Таким образом, мы нашли значение тангенса \( \alpha \).

Чтобы найти котангенс \( \cot(\alpha) \), мы можем использовать определение котангенса: \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \).

1. Подставляем значение тангенса: \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\frac{\frac{15}{17}}{\sqrt{1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2}}} \).

Теперь у нас есть значения косинуса \( \cos(\alpha) \), тангенса \( \tan(\alpha) \) и котангенса \( \cot(\alpha) \) для данного уравнения \( \sin(\alpha) = \frac{15}{17} \).