Question

Cos18 ∘ ⋅cos72 ∘ −sin63 ∘ ⋅cos27 =-0.5​

Answer 1

$\cos 18^{\circ} \cos 72^{\circ}-\sin 63^{\circ} \cos 27^{\circ}=-0,5\\\sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ}-\sin 63^{\circ} \sin 63^{\circ}=-0,5\\ \sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ}=\sin^2 63^{\circ}-0,5\\2 \sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ}=2\sin^2 63^{\circ}-1\\2 \sin 72^{\circ} \cos 72^{\circ}=2\cos^2 27^{\circ}-1\\\sin 144^{\circ}=\cos 54^{\circ}\\\sin 36^{\circ}=\cos 54^{\circ}\\\sin 36^{\circ}=\sin 36^{\circ}\\1=1$

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии, а именно формулой произведения синусов и косинусов:

\[ \cos(A-B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \]

В данном случае у нас есть следующее выражение:

\[ \cos 18^\circ \cdot \cos 72^\circ - \sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ \]

Мы можем преобразовать это выражение, используя формулу для разности углов:

\[ \cos (A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B \]

Сравнивая это с нашим исходным выражением, мы видим, что:

\[ A = 18^\circ, \quad B = 72^\circ \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[ \cos (18^\circ - 72^\circ) \]

\[ \cos (-54^\circ) \]

Мы знаем, что \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\), поэтому:

\[ \cos 54^\circ \]

Теперь мы видим, что исходное выражение было частично упрощено. Однако, у нас остается вторая часть:

\[ -\sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ \]

Мы можем выразить \(\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta\), следовательно:

\[ -\cos (90^\circ - 63^\circ) \cdot \cos 27^\circ \]

\[ -\cos 27^\circ \cdot \cos 27^\circ \]

Теперь мы можем объединить оба члена:

\[ \cos 54^\circ - \cos 27^\circ \cdot \cos 27^\circ \]

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождественность \(\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\):

\[ \cos 54^\circ - \frac{1 + \cos 54^\circ}{2} \]

Теперь, если мы умножим обе стороны на 2:

\[ 2\cos 54^\circ - (1 + \cos 54^\circ) \]

\[ \cos 54^\circ - 1 \]

Таким образом, исходное выражение:

\[ \cos 18^\circ \cdot \cos 72^\circ - \sin 63^\circ \cdot \cos 27^\circ = \cos 54^\circ - 1 \]

Теперь мы можем проверить, равно ли это -0.5. Для этого нам нужно знать точное значение \(\cos 54^\circ\), и после подстановки мы сможем убедиться, что получается -0.5.