Question

Решите уравнение с помощью теоремы Виета. Запишите решение и отве х2 – 5х – 14 = 0 х2 +х - 12 = 0

Answer 1

Ответ:

1) $x_{1} = 7; x_{2} = -2$

2) $x_{1} = -4; x_{2} = 3$

Обьяснение:

Answer 2

Для решения уравнений с помощью теоремы Виета, нам необходимо знать, что для квадратного уравнения вида ах^2 + bx + c = 0 существуют два корня, которые мы обозначим как х1 и х2.

Теорема Виета гласит, что сумма корней уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

Рассмотрим первое уравнение: x^2 – 5x – 14 = 0.

Согласно теореме Виета, сумма корней равна -(-5)/1 = 5/1 = 5, а произведение корней равно -14/1 = -14.

Выражая корни через сумму и произведение, можем записать:

x1 + x2 = 5 (1) x1 * x2 = -14 (2)

Теперь рассмотрим второе уравнение: x^2 + x - 12 = 0.

Используя теорему Виета, сумма корней равна -1/1 = -1, а произведение корней равно -12/1 = -12.

Выражая корни через сумму и произведение, можем записать:

x1 + x2 = -1 (3) x1 * x2 = -12 (4)

Таким образом, мы получили систему из четырех уравнений (1), (2), (3) и (4). Теперь ее решим.

Способ 1: Можно сложить уравнения (1) и (3), чтобы избавиться от переменной x2:

(x1 + x2) + (x1 + x2) = 5 + (-1) 2(x1 + x2) = 4 (x1 + x2) = 4/2 (x1 + x2) = 2

Теперь выразим произведение корней:

(x1 + x2) * (x1 * x2) = (2) * (-14) 2 * (x1 * x2) = -28 (x1 * x2) = -28/2 (x1 * x2) = -14

Таким образом, мы получили два уравнения: (x1 + x2) = 2 и (x1 * x2) = -14.

Способ 2: Можно выразить переменные x1 и x2 через их сумму и произведение:

x1 = (x1 + x2) - x2 x1 = 2 - x2

Теперь, подставив это выражение для x1 во второе уравнение системы, мы можем выразить x2:

x1 * x2 = -14 (2 - x2) * x2 = -14 2x2 - x2^2 = -14 x2^2 - 2x2 + 14 = 0

Решая квадратное уравнение выше, мы найдем два значения x2:

D = (-2)^2 - 4*1*14 = 4 - 56 = -52

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение x^2 + x - 12 = 0 не имеет решений.

В обоих способах мы получили, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений.