Question

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: sinx+cosx=1/sinx ответ -pi/2, нужно объяснение

Answer 1

sinx + cosx = 1/sinx
(sin^2(x) + cosx * sinx - 1) / sinx = 0
(sin^2(x) + cosx * sinx - sin^2(x) - cos^2(x)) / sinx = 0
cosx( sinx - cosx) / sinx = 0
cos x = 0
x = pi / 2 + pi * n
sinx = cosx
при cosx != 0
x = pi / 4 + pi * n
рассмотрим окружность [-pi; 0)
имеем корни:
x = pi / 4 - pi = - 3 pi / 4
x = pi / 2 - pi = - pi / 2
наибольшим из этих двух корней является -pi/2
Ответ: -pi / 2.

Answer 2

Уравнение sinx cosx = 1/sinx можно переписать в виде sin^2(x) = 1/cosx. Затем можно заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (используя тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1), получим 1 - cos^2(x) = 1/cosx, откуда cos^3(x) - cosx = 0. Решая это уравнение, получим два корня: cosx = 0 и cosx = 1.

Так как мы ищем наибольший отрицательный корень, то рассмотрим только корень cosx = 0. Это происходит при x = -π/2.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения sinx cosx = 1/sinx равен -π/2.