Question

В какой точке касательная к графику функции f(x) =3x2 -12х +11 параллельна оси абсцисс? Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 - 3x2 + 2х - 1 в точке с абсциссой х0= 2. Точка движется по прямолинейному закону x(t) = 2,5t2 -10t + 11. В какой момент времени скорость тела будет равна 20? (координата измеряется в метрах, время – в секундах).

Answer 1

Ответ:

1) В точке х₀=2,  у= -1 - уравнение касательной

2) 6 с

Объяснение:

1) Касательная к графику функции f(x) =3x² -12х +11 будет параллельна оси абсцисс в точке, в которой производная к данной функции равна нулю, т.е. в точке  х₀, где  f `(x₀)=0. Найдем эту точку:

f(x) =3x² -12х +11

f `(x)=3*2x-12 = 6x-12

f `(x₀) =0  при 6x₀-12=0

                      6x₀=12

                      x₀=2 - искомая точка

y = y(x₀) + y `(x₀)(x-x₀)

y = (3*2²-12*2+11)+0*(x-2)

y=(3*4-24+11)+0

y = -1 - уравнение касательной в точке х₀=2

2) x(t) = 2,5t²-10t+11

  v(t) = x`(t)

   v(t) = (2,5t²-10t+11)`=2,5*2t-10+0 = 5t-10

   v(t) = 20 (м/с)

   5t-10 = 20

   5t = 30

   t = 6 (c) - искомое время

Answer 2

Задача 1: Касательная параллельна оси абсцисс

Для того чтобы найти точку, в которой касательная к графику функции \( f(x) = 3x^2 - 12x + 11 \) параллельна оси абсцисс, нужно найти значение \( x \), при котором производная функции \( f'(x) \) равна нулю.

Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f(x) = 3x^2 - 12x + 11 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 11) \] \[ f'(x) = 6x - 12 \]

Теперь приравняем \( f'(x) \) к нулю, чтобы найти точку, где касательная параллельна оси абсцисс: \[ 6x - 12 = 0 \] \[ 6x = 12 \] \[ x = 2 \]

Таким образом, касательная к графику функции \( f(x) = 3x^2 - 12x + 11 \) параллельна оси абсцисс в точке \( x = 2 \).

Задача 2: Уравнение касательной к графику функции

Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \), воспользуемся производной функции \( f'(x) \) и формулой для уравнения касательной.

Сначала найдем производную функции \( f(x) \): \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \] \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \[ f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 \] \[ f'(2) = 12 - 12 + 2 \] \[ f'(2) = 2 \]

Теперь у нас есть производная в точке \( x = 2 \). Уравнение касательной имеет вид: \[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \] \[ y - f(2) = f'(2)(x - 2) \] \[ y - (2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 1) = 2(x - 2) \] \[ y - (8 - 12 + 4 - 1) = 2(x - 2) \] \[ y - (-1) = 2(x - 2) \] \[ y + 1 = 2x - 4 \] \[ y = 2x - 5 \]

Уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \) равно \( y = 2x - 5 \).

Задача 3: Определение момента времени, когда скорость равна 20

Для определения момента времени, когда скорость тела, движущегося по прямолинейному закону \( x(t) = 2.5t^2 - 10t + 11 \), равна 20 м/с, нужно найти такое значение времени \( t \), при котором производная функции \( x'(t) \) будет равна 20.

Сначала найдем производную функции \( x(t) \) (скорость - это производная по времени от функции положения): \[ x(t) = 2.5t^2 - 10t + 11 \] \[ x'(t) = \frac{d}{dt}(2.5t^2 - 10t + 11) \] \[ x'(t) = 5t - 10 \]

Теперь приравняем \( x'(t) \) к 20 и решим уравнение: \[ 5t - 10 = 20 \] \[ 5t = 30 \] \[ t = 6 \]

Таким образом, скорость тела будет равна 20 м/с в момент времени \( t = 6 \) секунд.