Question

Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Например, S(12345)=15. Найди сумму всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=603.

Answer 1

Ответ:

201

Решение:

n⋅S(n)=603

603 = 3*3*67

Пары чисел, которые в произведении дают нам 603 следующие:

1 и 603, 201 и 3, 67 и 9

Из них под наше условие подходит только одна пара чисел 201*3. Число n в этом случае равно 201.

Проверка:

n*S(n) = 201*S(201) = 201*(2+0+1) = 201*3 = 603

Т.к. такое число единственно возможное, то и искомая сумма чисел равна самому числу 201.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть натуральное число \( n \), и мы обозначаем сумму его цифр как \( S(n) \). Также, нам дано условие:

\[ n \cdot S(n) = 603 \]

Мы ищем все натуральные числа, для которых это равенство выполняется.

Давайте рассмотрим, какие могут быть значения для \( S(n) \). Так как \( n \) является натуральным числом, его десятичная запись не может начинаться с нуля, и, следовательно, минимальное значение для \( S(n) \) будет 1 (если \( n \) состоит из одной цифры). Максимальное значение \( S(n) \) достигается, когда все цифры числа равны 9.

Теперь рассмотрим, какие значения может принимать \( n \). Если \( S(n) = 1 \), то \( n \) также равно 1. Если \( S(n) = 2 \), то возможны значения 2 и 11 (двузначные числа, где одна цифра равна 2). Аналогично, если \( S(n) = 3 \), то возможны значения 3, 12, 21 и т.д.

Давайте подходить к задаче методом перебора, начиная с минимальных значений и увеличивая их, чтобы найти все подходящие числа \( n \).

\[ \begin{align*} S(1) &= 1 \cdot 1 = 1 \\ S(2) &= 2 \cdot 2 = 4 \\ S(3) &= 3 \cdot 3 = 9 \\ S(4) &= 4 \cdot 4 = 16 \\ S(5) &= 5 \cdot 5 = 25 \\ \end{align*} \]

И так далее.

Продолжим перебор, пока не найдем все числа, удовлетворяющие условию \( n \cdot S(n) = 603 \).

\[ \begin{align*} S(27) &= 9 \cdot 27 = 243 \\ S(63) &= 9 \cdot 63 = 567 \\ S(93) &= 12 \cdot 93 = 1116 \\ \end{align*} \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел \( n \), для которых выполняется равенство \( n \cdot S(n) = 603 \), равна \( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 27 + 63 + 93 = 198 \).