Question

Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Например, S(12345)=15. Найди сумму всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=486.

Answer 1

Ответ:

54

Решение:

n⋅S(n)=486

486=2*3*3*3*3*3

Пары чисел, которые в произведении дают нам 486 следующие:

1 и 486, 2 и 243, 3 и 162, 6 и 81, 9 и 54, 18 и 27

Из них под наше условие подходит только одна пара чисел 54 и 9 Число n в этом случае равно 54.

Проверка:

n*S(n) = 54*S(54) = 54*(5+4)= 45*9 = 486

Т.к. такое число единственно возможное, то и искомая сумма чисел равна самому числу 54.

 

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Пусть \( S(n) \) - сумма цифр числа \( n \), и нам дано уравнение \( n \cdot S(n) = 486 \). Мы ищем все натуральные числа \( n \), для которых это уравнение выполняется.

Представим число \( n \) в виде \( \overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0} \), где \( a_i \) - цифры числа. Тогда сумма \( S(n) \) будет равна \( a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0 \).

Теперь у нас есть уравнение \( n \cdot S(n) = 486 \). Подставим выражение для \( S(n) \) и развернем уравнение:

\[ n \cdot (a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0) = 486 \]

Распишем \( n \) в виде \( \overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0} \) и учтем, что \( n = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0 \):

\[ (a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10 + a_0) \cdot (a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0) = 486 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ a_n \cdot S(n) \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot S(n) \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot S(n) \cdot 10 + a_0 \cdot S(n) = 486 \]

Теперь видно, что сумма \( S(n) \) присутствует в каждом слагаемом. Заметим также, что сумма всех цифр \( S(n) \) не может быть больше 9+9+9+9+9=45, так как каждая цифра не превосходит 9.

Попробуем найти все возможные комбинации цифр, которые удовлетворяют условию \( n \cdot S(n) = 486 \), при условии, что сумма цифр \( S(n) \) не превосходит 45.

1. \( n = 1, S(n) = 486 \) (не подходит, так как сумма цифр не может быть больше 45). 2. \( n = 2, S(n) = 243 \) (не подходит по тем же причинам). 3. \( n = 3, S(n) = 162 \) (не подходит). 4. \( n = 6, S(n) = 81 \) (подходит, так как \( 6 \cdot 81 = 486 \)).

Таким образом, единственным подходящим натуральным числом \( n \) является 6.