Question

Какой будет первообразная 4|x|?

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\dfrac{x \cdot |x|}{2} + C}$

Объяснение:

Первообразная это такая функция $F(x)$ производная которой дает $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной воспользуемся интегралом:

$F(x) = \displaystyle \int {f(x)} \, dx$

$F(x) = \displaystyle \int {4|x|} \, dx = 4 \int {|x|} \, dx$

Найдем интеграл $\displaystyle \int {|x|} \, dx$

По определению модуля:

$|x| = \left \{\begin{array}{l} x, x > 0 \\ 0, x =0 \\ -x, x < 0\end{array} \right.$

1) x > 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {x} \, dx = \dfrac{x^{2} }{2} + C$

2) x = 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {0 \cdot } \, dx = C$

3) x < 0

$\displaystyle \int {|x|} \, dx = \displaystyle \int {-x} \, dx = - \int {x} \, dx= -\dfrac{x^{2} }{2} + C$

Функция сигнум(знака):

$\rm {sgn}\ x={\begin{cases}\ \ 1,&x > 0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x < 0\end{cases}}$

Тогда $\rm |x| = x \cdot sgn \ x$

$\rm \displaystyle \int {|x|} \, dx = \dfrac{x^{2}}{2} \cdot sgn\ x + C = \dfrac{x \cdot |x|}{2} + C$

$F(x) = \dfrac{x \cdot |x|}{2} + C$

Answer 2

Первообразная (или интеграл) функции \(4|x|\) означает функцию, производная которой равна \(4|x|\).

Сначала разберемся с функцией \(|x|\). Функция \(|x|\) представляет собой модуль числа \(x\). Модуль числа всегда возвращает его абсолютное значение, то есть, если \(x\) положительное или ноль, то \(|x| = x\), а если \(x\) отрицательное, то \(|x| = -x\).

Теперь рассмотрим функцию \(4|x|\). Она будет иметь разные определения в зависимости от значения \(x\):

1. Если \(x \geq 0\), тогда \(4|x| = 4x\), так как \(|x| = x\) для неотрицательных чисел.

2. Если \(x < 0\), тогда \(4|x| = 4(-x) = -4x\), так как \(|x| = -x\) для отрицательных чисел.

Теперь найдем первообразные (интегралы) каждой из частей функции \(4|x|\):

1. Для \(x \geq 0\): \(\int 4x \, dx\) 2. Для \(x < 0\): \(\int (-4x) \, dx\)

Вычислим каждый из интегралов:

1. \(\int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1\) (где \(C_1\) — произвольная постоянная)

2. \(\int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = -2x^2 + C_2\) (где \(C_2\) — также произвольная постоянная)

Таким образом, первообразная функции \(4|x|\) будет иметь вид:

\[F(x) = \begin{cases} 2x^2 + C_1, & x \geq 0 \\ -2x^2 + C_2, & x < 0 \end{cases}\]

где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.