Question

Cумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию равна 7, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти числа.

Answer 1

Обозначим первый член b, знаменатель q
{ b + b*q + b*q^2 = 7
{ b^2 + b^2*q^2 + b^2*q^4 = 91

{ b*(1 + q + q^2) = 7, отсюда 1 + q + q^2 = 7/b
{ b^2*(1 + q^2 + q^4) = 91
Возведем 1 уравнение в квадрат
{ b^2*(1 + q + q^2)^2 = b^2*(1+q^2+q^4+2q+2q^2+2q^3) = 49
{ b^2*(1 + q^2 + q^4) = 91
Вычитаем из 2-го ур-ния 1-ое.
b^2*(-2q - 2q^2 - 2q^3) = 42
-2q*b^2*(1 + q + q^2) = 42
-2q*b^2*7/b = 42
b*q = -42/14 = -3
b = -3/q
1 + q + q^2 = 7/b = -7q/3
q^2 + q(1 + 7/3) + 1 = 0
3q^2 + 10q + 3 = 0
(q + 3)(3q + 1) = 0
q1 = -3, b1 = 1, числа 1, -3, 9
q2 = -1/3, b2 = 9, числа 9, -3, 1

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.

Пусть первое число геометрической прогрессии равно а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда второе число будет равно a*q, а третье число будет равно a*q^2.

Исходя из условия задачи, сумма трех чисел равна 7:

a + a*q + a*q^2 = 7 (уравнение 1)

Также, сумма их квадратов равна 91:

a^2 + (a*q)^2 + (a*q^2)^2 = 91 (уравнение 2)

Разрешим уравнение 2 относительно a:

a^2 + a^2*q^2 + a^2*q^4 = 91

a^2*(1 + q^2 + q^4) = 91

a^2 = 91 / (1 + q^2 + q^4) (уравнение 3)

Подставим полученное значение a в уравнение 1:

(91 / (1 + q^2 + q^4)) + (91*q / (1 + q^2 + q^4)) + (91*q^2 / (1 + q^2 + q^4)) = 7

91 + 91*q + 91*q^2 = 7*(1 + q^2 + q^4)

91 + 91*q + 91*q^2 = 7 + 7*q^2 + 7*q^4

7*q^4 + 6*q^2*q + (91 - 7)*q^2 - (91 - 7) = 0

7*q^4 + 6*q^3 + 84*q^2 - 84 = 0

Представим это уравнение в виде произведения:

(q - 1)*(7*q^3 + 13*q^2 + 97*q + 84) = 0

Таким образом, имеем два возможных значения для q: q = 1 и решение уравнения 7*q^3 + 13*q^2 + 97*q + 84 = 0.

Если q = 1, то из уравнения 1 получаем:

a + a + a = 7

3a = 7

a = 7 / 3

Таким образом, первое число равно 7/3, второе число равно 7/3, а третье число также равно 7/3.

Если q - корень уравнения 7*q^3 + 13*q^2 + 97*q + 84 = 0, то подставим найденное значение q в уравнение 3 для нахождения a.

Таким образом, мы найдем две геометрические прогрессии, состоящие из трех чисел, сумма которых равна 7 и сумма их квадратов равна 91.