Question

Исследуйте функцию у=2х/х+1 на монотонность если х>или= -1 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;0,4]

Answer 1

У=2х/х+1  x>-1   y'=(u/v)'   u=2x   u'=2   v=x+1  v'=1
y'=1/v²[u'v-v'u]=1/(x+1)²[2x+2-1*2x]=2/(x+1)²>0  → функция возрастает на области своего определения.
 
[-2;0,4]   заданный отрезок содержит точку х=-1 в которой функция имеет разрыв, при х→ -1  слева у→∞, справа  к -∞ таким образом наибольшее значение +∞ и наименьшее -∞

Answer 2

Для исследования монотонности функции у=2х/(х+1) при х≥-1 давайте найдем производную этой функции:

у = 2х/(х+1)

у' = (2*(х+1) - 2х)/((х+1)^2) = 2/(х+1)^2

Теперь мы видим, что производная всегда положительна, если х≥-1. Это означает, что функция у=2х/(х+1) монотонно возрастает при х≥-1.

Теперь найдем значения функции на отрезке [-2;0,4]:

При х=-2: у = 2*(-2)/(-2+1) = -4

При х=0,4: у = 2*0,4/(0,4+1) = 0,8/1,4 ≈ 0,57

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2;0,4] равно -4, а наименьшее значение равно примерно 0,57.