Question

В параллелограмме ABCD, стороны которого относятся как 11:4, проведены биссектрисы углов BAD и ADC, пересекающие сторону BC в точках M и N соответственно. Прямые AM и DN пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника MEN, если BM = 6, а высота параллелограмма, проведённая к стороне AD, равна 8.

Answer 1

Ответ:

осталось придумать, что делать с высотой:/

Объяснение:

есть идеи?)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Менелая.

Пусть сторона AB параллелограмма равна 11x, а сторона BC равна 4x.

Так как bm = 6, то множитель расстояния от точки E до BC равен 6/(6+4) = 6/10 = 3/5.

Теперь посмотрим на треугольник BEC. Мы знаем, что высота проведена к стороне BC, равна 8. Тогда из подобия треугольников BEC и BAD получаем, что высота проведенная к стороне AD также равна 8. Поэтому множитель расстояния от точки E до AD также составляет 3/5.

Теперь применим теорему Менелая для треугольника BMD относительно прямой ACE:

(AM/ME) * (EN/ND) * (DB/BM) = 1.

Заменяем значения:

(AM/ME) * 1 * (11/6) = 1.

Определяем AM/ME:

AM/ME = 6/11.

Также имеем MN/MC = 3/5, DN/DC = 3/5 и MC = DC - DM = 4x - 6.

Используя теорему Менелая для треугольника MNC получаем:

(DN/DC) * (CM/MN) * (ME/NE) = 1.

Подставляем значения:

(3/5) * ((4x - 6)/((3/5) * (4x - 6) + (3/5) * (4x - 6))) * ((3/5) * (4x - 6)/(3/5)) = 1.

Выражаем отношение MN/NE:

((3/5) * (4x - 6)/(3/5)) * NE = ((3/5) * (4x - 6) + (3/5) * (4x - 6)) * ME.

(4x - 6) * NE = (2/3) * (4x - 6 + 4x - 6) * ME.

2 * NE = (2/3) * 8 * ME.

2 * NE = 16/3 * ME.

(2/3) * NE = (8/3) * ME.

Отсюда следует, что NE/ME = 8/3.

Теперь применим теорему Менелая для треугольника NDC относительно прямой ABE:

(AN/ND) * (DE/EC) * (CB/BA) = 1.

Заменяем значения:

1 * (3/5) * (11/4) = 1.

Определяем DE/EC:

DE/EC = 1/(3/5) * (4/11) = 20/33.

Поэтому AE/EC = 1 - 20/33 = 13/33.

По определению прямой BM проведенной из точки B до прямой AD, AM/ME = 6/11 = AB/BE.

Поэтому AM/ME * (BM/ME - 1) = AB/BE * (BE/EC - 1).

Заменяем значения:

(6/11) * ((6/5) - 1) = 11/4 * (BE/EC - 1).

(6/11) * (1/5) = (11/4) * (BE/EC - 1).

6/55 = (11/4) * (BE/EC - 1).

6/55 = BE/EC - 11/4.

BE/EC = 6/55 + 11/4.

BE/EC = (24 + 605)/220.

BE/EC = 629/220.

Теперь умножим 629/220 на 13/33 (AE/EC):

(629/220) * (13/33) = (629 * 13)/(220 * 33).

(629 * 13)/(220 * 33) = 8177/7260.

Площадь треугольника MEN равна (1/2) * MN * (NE/ME).

MN/MC = 3/5, NE/ME = 8/3.

Подставляем значения:

(1/2) * MN * (NE/ME) = (1/2) * (3/5) * (8/3).

(3/5) * (8/3) * (1/2) = 8/5.

Поэтому площадь треугольника MEN равна 8/5 * 8177/7260 = 65256/36300.

Ответ: площадь треугольника MEN равна 65256/36300.