Question

Бічні сторони i менша основа трапеції мають однакові довжини - по 5 см. Знайдіть довжину більшої основи, при якій площа трапеції буде найбільшою.​

Answer 1

Нехай довжина меншої основи трапеції дорівнює \(5 \, \text{см}\), і бічні сторони трапеції також мають довжину \(5 \, \text{см}\). Позначимо довжину більшої основи трапеції як \(x \, \text{см}\).

Площа трапеції обчислюється за формулою:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h,\]

де \(a\) та \(b\) - основи трапеції, \(h\) - висота трапеції.

У нашому випадку \(a = 5 \, \text{см}\), \(b = x \, \text{см}\). Важливо врахувати, що висота трапеції не намалювана, тому ми не знаємо її значення. Однак ми можемо використати властивість трапеції, що вона розділяється на два прямокутники і трикутник, де висота є спільною для всіх цих фігур.

Нехай \(h\) - висота трапеції, \(h_1\) - висота одного з прямокутників, і \(h_2\) - висота одного з трикутників.

Тоді \(h = h_1 + h_2\).

Оскільки бічні сторони трапеції мають однакові довжини, \(h_1 = h_2\).

Отже, \(h = 2h_1\).

Ми можемо використовувати подібні трикутники, щоб виразити \(h_1\) через відомі сторони:

\[\frac{h_1}{5} = \frac{h_1}{x}.\]

Звідси отримуємо, що \(x = 5\).

Тепер ми можемо визначити площу трапеції, підставивши \(a\), \(b\) та \(h\) у формулу для площі:

\[S = \frac{5 + 5}{2} \cdot (h_1 + h_2) = \frac{10}{2} \cdot (h_1 + h_2) = 5 \cdot 2h_1 = 10h_1.\]

Отже, площа трапеції буде максимальною, коли \(x = 5 \, \text{см}\), тобто коли довжина більшої основи дорівнює \(5 \, \text{см}\).