Question

Найти (1-i)^20 ......

Answer 1

$(1-i)^{20}$

Для возведения в степень удобно воспользоваться формулой Муавра:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

Запишем число $z=1-i$ в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент:

$|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

$\arg z=\mathrm{arctg}\dfrac{-1}{1} =-\dfrac{\pi}{4}$

Тогда:

$z=\sqrt{2} \left(\cos\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi }{4}\right) \right)$

Возводим это число в 20 степень:

$z^{20}=(\sqrt{2} )^{20}\left(\cos\left(20\cdot\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)\right)+i\sin\left(20\cdot\left(-\dfrac{\pi }{4}\right)\right) \right)$

$z^{20}=2^{10}\left(\cos(-5\pi)+i\sin(-5\pi ) \right)$

В силу периодичности синуса и косинуса можем переписать:

$z^{20}=2^{10}\left(\cos\pi+i\sin\pi \right)$

$z^{20}=2^{10}\left(-1+i\cdot0\right)$

$z^{20}=2^{10}\cdot(-1)$

$z^{20}=-2^{10}$

$z^{20}=-1024$

Таким образом:

$(1-i)^{20}=-1024$

Ответ: -1024

Answer 2

Чтобы найти значение выражения \((1 - i)^{20}\), нужно возвести \(1 - i\) в 20-ую степень. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\),

где \(\binom{n}{k}\) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется как

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В данном случае \(a = 1\), \(b = -i\), и \(n = 20\). Подставим эти значения в формулу:

\((1 - i)^{20} = \sum_{k=0}^{20} \binom{20}{k} 1^{20-k} (-i)^k\).

Теперь вычислим каждое слагаемое отдельно:

1. \(\binom{20}{0} 1^{20-0} (-i)^0 = 1\) (поскольку \(1^x = 1\) и любое число в нулевой степени равно 1).

2. \(\binom{20}{1} 1^{20-1} (-i)^1 = 20 \cdot (-i)\) (по определению биномиального коэффициента).

3. \(\binom{20}{2} 1^{20-2} (-i)^2 = \frac{20 \cdot 19}{2} \cdot (-1)\) (по определению биномиального коэффициента и тому факту, что \(i^2 = -1\)).

4. Продолжаем этот процесс для каждого слагаемого до \(\binom{20}{20} 1^{20-20} (-i)^{20}\).

После вычисления всех слагаемых, сложите их вместе, и вы получите значение выражения \((1 - i)^{20}$. Так как это довольно трудоемкий процесс, я рекомендую воспользоваться программой или калькулятором с поддержкой комплексных чисел для выполнения этих вычислений.