Question

Решить неравенство5sin²x-3sinxcosx-2cos²x>0​

Answer 1

Ответ:

x = arctg(-0.4)+\pi kx=arctg(−0.4)+πk ; x = \frac{\pi }{4} + \pi nx=

4

π

+πn

Пошаговое объяснение:

5sin^{2}x - 3sinxcosx - 2cos^{2}x = 05sin

2

x−3sinxcosx−2cos

2

x=0

Разделим уравнение на cos^{2}xcos

2

x :

5tg^{2}x - 3tgx - 2 = 05tg

2

x−3tgx−2=0

Проведем замену t = tgx:

5t^{2} - 3t - 2 = 05t

2

−3t−2=0

Решим квадратное уравнение методом коэффициентов:

a + b + c = 0a+b+c=0

5 - 3 - 2 = 05−3−2=0 ⇒ t_{1} = 1t

1

=1 ; t_{2} = c/a = -0.4t

2

=c/a=−0.4

Проведем обратную замену:

tgx = 1tgx=1

x = arctg 1x=arctg1

x = \frac{\pi }{4} + \pi nx=

4

π

+πn , где n ∈ Z

tgx = -0.4tgx=−0.4

x = arctg(-0.4)x=arctg(−0.4)

x = arctg(-0.4)+\pi kx=arctg(−0.4)+πk , где k ∈ Z

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(5\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) > 0\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с того, что можно заметить, что \(5\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x)\) можно записать в следующем виде:

\[5\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 5\sin^2(x) - 2\cos^2(x) - 3\sin(x)\cos(x)\]

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), чтобы заменить \(\cos^2(x)\) в выражении:

\[5\sin^2(x) - 2\cos^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) = 5\sin^2(x) - 2(1 - \sin^2(x)) - 3\sin(x)\cos(x)\]

Раскроем скобки:

\[5\sin^2(x) - 2 + 2\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x)\]

Теперь объединим подобные члены:

\[7\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2 > 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Давайте представим его как квадратное уравнение относительно переменной \(t = \sin(x)\):

\[7t^2 - 3t - 2 > 0\]

Теперь нужно решить это квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \(7t^2 - 3t - 2 = 0\).

Корни этого уравнения можно найти с использованием дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 7\), \(b = -3\), и \(c = -2\).

\[D = (-3)^2 - 4(7)(-2) = 9 + 56 = 65\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[t_1, t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{14}\]

Теперь рассмотрим знаки в каждом из интервалов, образованных корнями \(t_1\) и \(t_2\):

1. В интервале \((-\infty, \frac{3 - \sqrt{65}}{14})\): Оба корня отрицательны, поэтому \(7t^2 - 3t - 2 > 0\).

2. В интервале \((\frac{3 - \sqrt{65}}{14}, \frac{3 + \sqrt{65}}{14})\): Один корень положителен, другой отрицателен. Следовательно, \(7t^2 - 3t - 2 < 0\).

3. В интервале \((\frac{3 + \sqrt{65}}{14}, \infty)\): Оба корня положительны, поэтому \(7t^2 - 3t - 2 > 0\).

Теперь, зная знаки в каждом из интервалов, мы можем записать ответ для исходного неравенства:

\[7\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) - 2 > 0 \Rightarrow \sin(x) \in \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{65}}{14}\right) \cup \left(\frac{3 + \sqrt{65}}{14}, \infty\right)\]

Это даст нам интервалы значений для \(\sin(x)\). Теперь, если нужно найти интервалы для \(x\), нужно учесть, что \(\sin(x) = 1\) соответствует \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), а \(\sin(x) = -1\) соответствует \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число. Таким образом, ответом будет:

\[x \in \left(-\infty, \arcsin\left(\frac{3 - \sqrt{65}}{14}\right)\right) \cup \left(\arcsin\left(\frac{3 + \sqrt{65}}{14}\right), \infty\right)\]