Question

У= -х²-6х-5. Знайти зростаючі, спадаючі і найбільше значення;​

Answer 1

Ответ:

Для функції U(x) = -x^2 - 6x - 5 ми можемо знайти зростаючі, спадаючі області та найбільше значення за допомогою похідних.

1. Знайдемо похідну функції U відносно x:

  U'(x) = -2x - 6

2. Тепер знайдемо точки, в яких U'(x) = 0, щоб визначити критичні точки:

  -2x - 6 = 0

  -2x = 6

  x = -3

3. Тепер розділимо вісь x на три інтервали, враховуючи критичну точку x = -3: (-∞, -3), (-3, +∞).

4. Перевіримо знак похідної на кожному інтервалі:

  - Для інтервалу (-∞, -3):

    Виберемо значення x = -4 (менше за -3).

    U'(-4) = -2(-4) - 6 = 8 - 6 = 2 (позитивне)

    Таким чином, функція U(x) зростає на цьому інтервалі.

  - Для інтервалу (-3, +∞):

    Виберемо значення x = 0 (більше за -3).

    U'(0) = -2(0) - 6 = -6 (від'ємне)

    Таким чином, функція U(x) спадає на цьому інтервалі.

5. Найбільше значення функції U(x) буде в точці, де вона досягає свого максимуму. Оскільки функція зростає на інтервалі (-∞, -3) і спадає на інтервалі (-3, +∞), то найбільше значення буде досягнуто в точці x = -3.

Таким чином, найбільше значення функції U(x) буде:

U(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4.

Объяснение:

Answer 2

Задача полягає в знаходженні зростаючих і спадаючих ділянок функції \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\), а також у визначенні найбільшого значення функції.

1. Знайти похідну функції:

Похідна функції \(f(x)\) дає інформацію про нахил кривої у кожній точці.

\[f'(x) = -2x - 6\]

2. Знайти точки, де похідна рівна нулю або не існує:

Знайдемо значення \(x\), при яких \(f'(x) = 0\):

\[-2x - 6 = 0 \implies x = -3\]

Таким чином, точка \(x = -3\) є критичною точкою.

3. Визначити інтервали зростання і спадання:

Враховуючи критичну точку \(x = -3\) і взявши тестові значення окремо з кожного інтервалу, можемо визначити зростання або спадання функції. Розглянемо три інтервали: \((- \infty, -3)\), \((-3, +\infty)\), та \((- \infty, +\infty)\).

- Інтервал \((- \infty, -3)\): Виберемо значення \(x = -4\) (менше -3), і вставимо його в похідну: \[f'(-4) = -2(-4) - 6 = 2 > 0.\]

Таким чином, на інтервалі \((- \infty, -3)\) функція \(f(x)\) зростає.

- Інтервал \((-3, +\infty)\): Виберемо значення \(x = 0\) (більше -3), і вставимо його в похідну:

\[f'(0) = -2(0) - 6 = -6 < 0.\]

Отже, на інтервалі \((-3, +\infty)\) функція \(f(x)\) спадає.

- Інтервал \((- \infty, +\infty)\): Враховуючи вищевказане, можемо визначити, що функція зростає на \((- \infty, -3)\) і спадає на \((-3, +\infty)\).

4. Знайти найбільше значення функції:

Знаходження вершини параболи (найбільшого чи найменшого значення) відбувається в точці, де похідна змінює знак. У нашому випадку, це точка \(x = -3\). Замінимо \(x\) у вихідній функції:

\[f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4.\]

Таким чином, найбільше значення функції \(f(x)\) дорівнює 4 і досягається при \(x = -3\).

5. Висновок:

Функція \(f(x) = -x^2 - 6x - 5\) зростає на інтервалі \((- \infty, -3)\), спадає на інтервалі \((-3, +\infty)\), а найбільше значення 4 досягає в точці \(x = -3\).