Question

4х⁴-5х²+1=0 (3х-1)⁴-20(3х-1)²+64=0​

Answer 1

Ответ:

Проведем замену переменной. Пусть x^{2} = tx

2

=t тогда уравнение примет вид:

4t^{2} -5t+1=04t

2

−5t+1=0

t_{1} = 0,25t

1

=0,25

t_{2} = 1t

2

=1

Подставим вместо t x^{2}x

2

x^{2} = 0,25x

2

=0,25 или x^{2} = 1x

2

=1

\begin{gathered} x = 0,5 \\ x=-0,5\\ x=1 \\ x=-1\end{gathered}

x=0,5

x=−0,5

x=1

x=−1

Ответ: -1;-0,5;0,5;1

Answer 2

Кажется, у вас два уравнения, и вы хотите решить систему уравнений. Давайте разберемся с каждым уравнением по отдельности.

1. Уравнение \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\):

Для решения этого уравнения давайте введем замену. Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\[4y^2 - 5y + 1 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где у нас \(a = 4\), \(b = -5\), и \(c = 1\).

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}.\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8}.\]

\[y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8}.\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(y\):

a) \(y_1 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1\)

b) \(y_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

Теперь подставим обратно \(y = x^2\):

a) \(x^2 = 1\): \(x = \pm 1\)

b) \(x^2 = \frac{1}{4}\): \(x = \pm \frac{1}{2}\)

Таким образом, уравнение \(4x^4 - 5x^2 + 1 = 0\) имеет четыре корня: \(x = 1, x = -1, x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{2}\).

2. Уравнение \((3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0\):

Давайте введем замену \(u = (3x - 1)^2\), тогда уравнение примет вид:

\[u^2 - 20u + 64 = 0.\]

Также это квадратное уравнение. Мы можем использовать тот же метод, что и ранее:

\[u = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2}.\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2}.\]

\[u = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2}.\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(u\):

a) \(u_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16\)

b) \(u_2 = \frac{20 - 12}{2} = 4\)

Теперь подставим обратно \(u = (3x - 1)^2\):

a) \((3x - 1)^2 = 16\): \(3x - 1 = \pm 4\)

\(3x - 1 = 4\): \(x = \frac{5}{3}\)

\(3x - 1 = -4\): \(x = -\frac{1}{3}\)

b) \((3x - 1)^2 = 4\): \(3x - 1 = \pm 2\)

\(3x - 1 = 2\): \(x = 1\)

\(3x - 1 = -2\): \(x = -\frac{1}{3}\)

Таким образом, уравнение \((3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0\) имеет три корня: \(x = \frac{5}{3}, x = 1, x = -\frac{1}{3}\).

Теперь мы рассмотрели каждое уравнение отдельно. Если вам нужно решить систему из обоих уравнений, найденные корни обоих уравнений должны удовлетворять обоим уравнениям.