Question

№ 7 У Вани есть 236 монет и доска 7 х 7. Он разложил все монеты в клетки доски так, что в любых четырёх клетках, образующих прямоугольник 1 х 4 или 4 х 1, суммарно оказалось ровно 19 монет (в каких-то клетках могло оказаться несколько монет, а какие-то клетки могли оказаться пустыми). Сколько всего монет может находиться в четвёртом столбце? Укажите все возможные варианты.​

Answer 1

Ответ:

У вас є дошка розміром 7x7 і 236 монет. Потрібно розмістити монети так, щоб в будь-якому чотириклітковому прямокутнику розміром 1x4 або 4x1 було рівно 19 монет.

Один з можливих варіантів розташування монет в четвертому стовпці:

1. Перший ряд - 19 монет.

2. Другий ряд - 19 монет.

3. Третій ряд - 19 монет.

4. Четвертий ряд - 19 монет.

5. П'ятий ряд - 0 монет.

6. Шостий ряд - 0 монет.

7. Сьомий ряд - 141 монет.

У цьому варіанті четвертий стовпець має 19 + 19 + 19 + 19 + 0 + 0 + 141 = 217 монет.

Це один з можливих варіантів розташування монет, який задовольняє вашим умовам.

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты распределения монет по доске.

Обозначим количество монет в каждой клетке через \(a_{i,j}\), где \(i\) - номер строки, \(j\) - номер столбца. Тогда у нас есть следующие условия:

1. В каждой клетке монета или пусто: \(a_{i,j} \in \{0, 1\}\). 2. Сумма в каждой строке равна 7: \(\sum_{j=1}^{7} a_{i,j} = 7\). 3. Сумма в каждом столбце равна 19: \(\sum_{i=1}^{7} a_{i,j} = 19\). 4. В любых четырех клетках, образующих прямоугольник 1 x 4 или 4 x 1, суммарно 19 монет.

Теперь рассмотрим возможные варианты распределения монет:

- Вариант 1: ``` 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ``` В этом варианте в каждой строке соблюдается условие 2, и в каждом столбце соблюдается условие 3. Также соблюдается условие 4, потому что в каждом прямоугольнике 1 x 4 или 4 x 1 сумма равна 4 x 1 = 4. Таким образом, этот вариант подходит.

- Вариант 2: ``` 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ``` Этот вариант также соответствует всем условиям.

Теперь посмотрим на четвертый столбец:

- Вариант 1: 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 4 - Вариант 2: 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 4

Таким образом, в четвертом столбце может быть либо 4 монеты (в каждом из вариантов).