Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції e^(x)-x

Answer 1

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції \(f(x) = e^x - x\), спершу розглянемо її похідну, яка допоможе нам визначити зміну нахилу функції.

Похідна функції \(f(x)\) визначається як:

\[f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x)\]

Давайте знайдемо похідну \(f'(x)\) та визначимо проміжки, на яких вона є додатною (функція зростає) та від'ємною (функція спадає).

1. Знайдемо похідну \(f'(x)\):

Для цього використаємо правило диференціювання функції \(e^x\) та функції \(x\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x - x) = e^x - 1\]

2. Знайдемо точки, в яких \(f'(x) = 0\):

\(e^x - 1 = 0\)

\(e^x = 1\)

\(x = 0\)

Тепер ми знаємо, що \(f'(x) = 0\) при \(x = 0\). Щоб визначити, чи функція зростає чи спадає навколо цієї точки, ми можемо взяти похідну відновлену до \(f'(x)\). Це друга похідна \(f''(x)\). Якщо \(f''(x) > 0\) в певному інтервалі, то функція зростає на цьому інтервалі; якщо \(f''(x) < 0\), то функція спадає.

3. Знайдемо другу похідну \(f''(x)\):

\[f''(x) = \frac{d}{dx} (e^x - 1) = e^x\]

4. Оцінимо \(f''(x)\) навколо точки \(x = 0\):

\(f''(0) = e^0 = 1\)

Оскільки \(f''(0) > 0\), це означає, що функція \(f(x)\) зростає навколо точки \(x = 0\). Це означає, що існує проміжок зростання функції \(f(x) = e^x - x\) навколо цієї точки.

Узагальнюючи, функція \(f(x) = e^x - x\) зростає на інтервалах, де \(x < 0\) та \(x > 0\), і спада на інтервалі \(-\infty < x < 0\).

Ці інтервали можуть бути позначені так:

- Функція зростає на \(x \in (-\infty, 0)\) та \(x \in (0, \infty)\. - Функція спадає на \(x \in (0, 0)\.

Надіюсь, ця відповідь допомогла вам зрозуміти, як знайти проміжки зростання та спадання функції \(e^x - x\).