Question

X^5-x^4 Разложите многочлен на множители

Answer 1

X^4(x-1) - правильный ответ

Answer 2

Чтобы разложить многочлен на множители, сначала нужно проверить, существуют ли его рациональные корни. Для этого мы можем использовать теорему Безу, которая говорит о том, что если рациональное число p/q (где p и q - целые числа, q не равно нулю) является корнем многочлена, то оно делит свободный член p и q делит коэффициент при старшей степени многочлена.

В нашем случае многочлен имеет вид X^5 - X^4 + c, где c - свободный член. Здесь свободный член равен 0, так как в оригинальном вопросе он не указан. Поэтому мы можем сказать, что если у многочлена есть рациональные корни, то они должны быть делителями 0.

Теперь мы можем приступить к поиску рациональных корней многочлена. Для этого мы можем использовать метод подстановки и проверять различные значения x, начиная с делителей свободного члена (в данном случае 0).

Подбирая различные значения, мы можем найти, что x = 0 является корнем многочлена. Это означает, что (x - 0) = x - 0 является множителем многочлена.

Теперь мы можем разделить исходный многочлен на x и получить новый многочлен, который будет иметь степень на 1 меньше исходного:

(x^5 - x^4) / x = x^4 - x^3

Теперь мы можем повторить процесс разложения нового многочлена. Мы снова проверяем, есть ли рациональные корни, и используем метод подстановки. Подбирая различные значения, мы можем найти, что x = 0 является корнем нового многочлена. Это означает, что (x - 0) = x - 0 является множителем нового многочлена.

Теперь мы можем разделить новый многочлен на x и получить еще один новый многочлен:

(x^4 - x^3) / x = x^3 - x^2

Продолжая этот процесс, мы найдем, что x = 0 является корнем многочлена еще два раза, и разложение будет выглядеть следующим образом:

(x^3 - x^2) / x = x^2 - x (x^2 - x) / x = x - 1

Теперь мы получили полное разложение исходного многочлена:

X^5 - x^4 = x * x * x * (x - 0) * (x - 0) * (x - 0) * (x - 1)

Таким образом, многочлен X^5 - x^4 может быть разложен на множители следующим образом:

X^5 - x^4 = x^3 * (x - 0)^3 * (x - 1)