Question

Найти все решения уравнения |sinx|/sinx=1-cos2x на отрезке [pi/2;3pi/2]

Answer 1

Левая часть равна либо -1 (если sin x < 0), либо 1 (если sin x > 0).
Уравнение -1 = 1 - cos 2x решений не имеет, т.к. сводится к уравнению cos 2x = 2.
Тогда sin x > 0 и левая часть равна 1.

1 - cos 2x = 1
cos 2x = 0
2x = pi/2 + pi*n
x = pi/4 + pi*n / 2

Нам нужны такие x, для которых sin x > 0
Разбираем случаи.
1) n = 4k
sin(pi/4 + 2 * pi * k) = sin(pi/4) > 0, подходит
2) n = 4k + 1
sin(pi/4 + 2pi k + pi/2) = sin(3pi/4) > 0, подходит
3) n = 4k - 1
sin(pi/4 + 2pi k - pi/2) = sin(-pi/4) < 0, не подходит
4) n = 4k - 2
sin(pi/4 + 2pi k - pi) = sin(-3pi/4) < 0, не подходит.
(Отбор корней можно производить также по тригонометрической окружности, по графику и вообще как угодно)

Решение уравнения - множество
x = pi/4 + 2pi k или x = 3pi/4 + 2pi k, k - любое целое число.

В отрезок [pi/2, 3pi/2] попадает точка 3pi/4.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение внимательно:

|sin(x)|/sin(x) = 1 - cos(2x)

Сначала заметим, что на отрезке [π/2, 3π/2] функция sin(x) всегда отрицательна, поскольку sin(x) отрицателен для x в этом интервале. Поэтому мы можем безопасно убрать модуль из уравнения:

-sin(x)/sin(x) = 1 - cos(2x)

Теперь сократим -sin(x) и sin(x):

-1 = 1 - cos(2x)

Теперь давайте избавимся от -1 с обеих сторон уравнения:

1 - 1 = cos(2x)

0 = cos(2x)

Теперь нам нужно решить уравнение cos(2x) = 0. Cos(2x) равен нулю, когда угол 2x находится в точках, где cos равен нулю. Это происходит в следующих точках:

2x = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

Теперь разделим каждое уравнение на 2:

x = π/4, 3π/4, 5π/4, ...

Таким образом, все решения уравнения |sin(x)|/sin(x) = 1 - cos(2x) на отрезке [π/2, 3π/2] - это x = π/4, 3π/4, 5π/4, и так далее.