Question

В опуклому n-кутнику (n) жодні три діагоналі не перетинаються в одній точці. Доведіть, що кількість усі точок перетину діагоналей дорівнює кількості чотирикутників, усі вершини яких є вершинами даного n-кутника

Answer 1

Для доведення цієї твердження розглянемо опуклий n-кутник з n вершинами. Кожна вершина n-кутника може бути поєднана з іншими (n-3) вершинами цього полігона, щоб утворити діагоналі.

1. Спочатку розглянемо кількість можливих сполучень вершин. Якщо у нас є n вершин, то кожна вершина може бути сполучена з іншими (n-3) вершинами (відсутність сполучення з самою собою і з двома сусідніми вершинами). Таким чином, кожна вершина має (n-3) можливих сполучень.

2. Оскільки ми маємо n вершин, і кожна з них може бути сполучена з (n-3) іншими вершинами, загальна кількість можливих сполучень діагоналей дорівнює n * (n-3).

3. Тепер давайте розглянемо кількість чотирикутників, вершинами яких є вершини n-кутника. Кожний чотирикутник формується з вибору будь-якої однієї вершини n-кутника (n способів вибору) та трьох інших вершин (n-1, n-2 і n-3 способи вибору, відповідно).

4. Тепер ми можемо обчислити загальну кількість чотирикутників, вершинами яких є вершини n-кутника, як n * (n-1) * (n-2) * (n-3).

5. Зіставляючи обидві отримані кількості (кількість сполучень діагоналей та кількість чотирикутників), ми бачимо, що вони співпадають: n * (n-3) = n * (n-1) * (n-2) * (n-3).

Таким чином, ми довели, що кількість точок перетину діагоналей дорівнює кількості чотирикутників, вершинами яких є вершини даного n-кутника.