Question

Доведіть, що за будь яких значень m i n нерівність є правильною 30mn ≤ 9m² + 25n² ? Докажите, что при любых значений m i n неравенство является правильным 30mn ≤ 9m² + 25n²?​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

0≤(3m-5n)²=9m² -30mn+ 25n²

0≤9m² -30mn+ 25n²

30mn ≤ 9m² + 25n²

ч.т.д.

Answer 2

Давайте докажем, что неравенство \(30mn \leq 9m^2 + 25n^2\) верно для любых значений \(m\) и \(n\).

Для начала, разделим обе стороны неравенства на 5 (поскольку 5 - это положительное число, мы можем это сделать без изменения направления неравенства):

\(\frac{30mn}{5} \leq \frac{9m^2}{5} + \frac{25n^2}{5}\)

Теперь упростим обе стороны:

\(6mn \leq \frac{9}{5}m^2 + 5n^2\)

Затем вынесем общие множители за скобку на правой стороне:

\(6mn \leq \frac{9}{5}(m^2 + 5n^2)\)

Теперь обратим внимание на выражение \(\frac{9}{5}(m^2 + 5n^2)\) на правой стороне. Мы видим, что каждый член в скобках (то есть \(m^2\) и \(5n^2\)) неотрицательный, потому что квадрат любого числа всегда неотрицателен. Следовательно, сумма \(m^2 + 5n^2\) также неотрицательна. Когда мы умножаем неотрицательное число на положительное число (\(9/5\)), результат также остается неотрицательным. Таким образом, \(\frac{9}{5}(m^2 + 5n^2)\) неотрицательно.

Итак, мы имеем:

\(6mn \leq \frac{9}{5}(m^2 + 5n^2)\)

Поскольку правая сторона неравенства неотрицательна, неравенство выполняется для любых значений \(m\) и \(n\).