Question

Решите уравнение f'(x)=5 ,если f(x) = (cos x - 2sin x )(sin x - 2 cos x)

Answer 1

Ответ:

x=kπ, k∈Z

Объяснение:

f(x) = (cos x-2sinx)(sinx-2cos x)

f ' (x)=(cos x-2sinx)'(sinx-2cos x)+(cos x-2sinx)(sinx-2cos x)'=

=(-sinx-2cos x)(sinx-2cos x)+(cos x-2sinx)(cos x+2sinx)=

=-(sinx+2cos x)(sinx-2cos x)+(cos x-2sinx)(cos x+2sinx)=

=-(sin²x-4cos²x)+(cos²x-4sin²x)=-sin²x+4cos²x+cos²x-4sin²x=

=5cos²x-5sin²x=5(cos²x-sin²x)=5cos2x

f'(x)=5

5cos2x=5

cos2x=1

2x=2kπ

x=kπ, k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам необходимо найти производную функции f(x) и приравнять ее к 5.

Давайте сначала найдем производную функции f(x). У нас дано, что f(x) = (cos(x) + 2sin(x))(sin(x) + 2cos(x)). Для удобства, давайте раскроем скобки:

f(x) = cos(x)sin(x) + 2cos(x)sin(x) + 2cos(x)cos(x) + 4sin(x)cos(x)

Теперь найдем производную этой функции. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования:

f'(x) = (cos(x)sin(x))' + (2cos(x)sin(x))' + (2cos(x)cos(x))' + (4sin(x)cos(x))'

Производная функции cos(x)sin(x) равна:

(cos(x)sin(x))' = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Производная функции 2cos(x)sin(x) равна:

(2cos(x)sin(x))' = 2cos(x)cos(x) - 2sin(x)sin(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x)

Производная функции 2cos(x)cos(x) равна:

(2cos(x)cos(x))' = -4cos(x)sin(x)

Производная функции 4sin(x)cos(x) равна:

(4sin(x)cos(x))' = 4cos^2(x) - 4sin^2(x)

Теперь сложим все полученные производные:

f'(x) = (cos^2(x) - sin^2(x)) + (2cos^2(x) - 2sin^2(x)) + (-4cos(x)sin(x)) + (4cos^2(x) - 4sin^2(x))

Упростим выражение:

f'(x) = 7cos^2(x) - 7sin^2(x) - 4cos(x)sin(x)

Теперь приравняем f'(x) к 5 и решим уравнение:

7cos^2(x) - 7sin^2(x) - 4cos(x)sin(x) = 5

К сожалению, я не могу решить это уравнение аналитически. Оно требует применения численных методов или использования графического метода для нахождения приближенного решения.