Question

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4,а сумма квадратов ее членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Answer 1

если b[1], b[2], b[3], .. - данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, то

последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

 

используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии

 

b[1]/(1-q)=4

b[1]^2/(1-q^2)=48

 

откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, и используя формулу разности квадратов

b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=48/4

b[1]/(1+q)=12

откуда

b[1]=12(1+q)=4(1-q)

 

12+12q=4-4q

12q+4q=4-12

16q=-8

q=-1/2

 

b[1]=4*(1-(-1/2))=4+2=6

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о сумме бесконечной геометрической прогрессии и о сумме квадратов ее членов.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии определяется формулой: S = a/(1 - r), где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии (|r| < 1).

Сумма квадратов членов геометрической прогрессии

Сумма квадратов членов геометрической прогрессии определяется формулой: S^2 = a^2/(1 - r^2), где S^2 - сумма квадратов членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии (|r| < 1).

Решение задачи

По условию задачи, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4: 4 = a/(1 - r) (уравнение 1).

Также, сумма квадратов членов прогрессии равна 48: 48 = a^2/(1 - r^2) (уравнение 2).

Мы имеем систему из двух уравнений (уравнение 1 и уравнение 2) с двумя неизвестными (a и r). Давайте решим эту систему.

Возведем уравнение 1 в квадрат: (4)^2 = (a/(1 - r))^2 16 = a^2/(1 - r)^2 (уравнение 3).

Теперь вычтем уравнение 2 из уравнения 3: 16 - 48 = a^2/(1 - r)^2 - a^2/(1 - r^2) -32 = a^2(1 - r^2 - 1 + r)^2 -32 = a^2(r^2 - r) (уравнение 4).

Так как сумма квадратов членов прогрессии равна 48, а сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, у нас есть два уравнения и две неизвестные. Мы можем решить эту систему численно или методом подстановки.

Давайте решим эту систему методом подстановки. Разделим уравнение 4 на a^2: -32/a^2 = r^2 - r r^2 - r + 32/a^2 = 0 (уравнение 5).

Теперь можем решить квадратное уравнение 5 относительно r. Решением будут значения r, при которых уравнение 5 равно нулю.

Решение квадратного уравнения даст нам два значения r1 и r2: r1 = (1 + sqrt(1 - 4*(32/a^2)))/2 r2 = (1 - sqrt(1 - 4*(32/a^2)))/2

Теперь, используя найденные значения r1 и r2, можем выразить a из уравнения 1 и найти первый член прогрессии. Подставим r1 в уравнение 1: 4 = a/(1 - r1) 4(1 - r1) = a a = 4(1 - r1)

Также, подставим r2 в уравнение 1: 4 = a/(1 - r2) 4(1 - r2) = a a = 4(1 - r2)

Теперь мы знаем значения a и r и можем найти первый член и знаменатель прогрессии.