Question

1)Составить уравнение касательной к графику функции y=6x^3+2x^2+x Если x0=1 2) исследовать функцию y=3x-x^3 на монотонность и экстремумы с помощью производной

Answer 1

Ответ:

1

$y = 6x {}^{3} + 2 {x}^{2} + x \\ x_0 = 1$

$f(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$

$y(1) = 6 + 2 + 1 = 9$

$y '= 18 {x}^{2} + 4x + 1$

$y'(1) = 18 + 4 + 1 = 23$

$f(x) = 9 + 23(x - 1) = 9 + 23x - 23 = \\ = 23x - 14$

- уравнение касательной

2.

$y = 3x - {x}^{3} \\ y' = 3 - 3 {x}^{2} \\ \\ 3 - 3 {x}^{2} = 0 \\ 1 - {x}^{2} = 0 \\ x = \pm1 \\ \\ - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \\ - -( - 1) - -1 - - >$

Функция возрастает на (-1;1)

Функция убывает на (- беск; -1)U(1; + беск)

Экстремумы:

- 1 - точка минимума

1 - точка максимума

Answer 2

1) Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=6x^3+2x^2+x в точке x0, нужно найти производную данной функции и подставить в нее x=x0.

Итак, найдем производную функции y=6x^3+2x^2+x. Производная будет равна: y' = 18x^2 + 4x + 1.

Затем подставим x=x0 в полученную производную: y'(x0) = 18(x0)^2 + 4(x0) + 1.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=6x^3+2x^2+x в точке x0 будет иметь вид: y - f(x0) = y'(x0)(x - x0),

где f(x0) - значение функции y=6x^3+2x^2+x в точке x0.

2) Чтобы исследовать функцию y=3x-x^3 на монотонность и экстремумы с помощью производной, нужно выполнить следующие шаги:

а) Найдем производную функции y=3x-x^3. Производная будет равна: y' = 3 - 3x^2.

б) Решим уравнение y' = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю: 3 - 3x^2 = 0, 3x^2 = 3, x^2 = 1, x = ±1.

Таким образом, точки экстремума будут равны x = -1 и x = 1.

в) Теперь определим знак производной на интервалах между найденными точками экстремума и за их пределами. Для этого можно использовать метод пробных значений, выбирая x-координату в каждом интервале и подставляя ее в производную. Например, на интервале x < -1 можно взять x = -2 и подставить его в производную: y'(-2) = 3 - 3(-2)^2 = 3 - 12 = -9.

Получили отрицательное значение производной, следовательно, на данном интервале функция является убывающей.

Аналогично проводим анализ на других интервалах и за пределами найденных точек.

г) На основе анализа знаков производной можно сделать выводы о монотонности функции: - Функция убывает на интервале (-∞, -1); - Функция возрастает на интервале (-1, 1); - Функция убывает на интервале (1, +∞).

Также, точки экстремума можно дополнительно проверить с помощью второй производной. Если вторая производная отлична от нуля, то точка является точкой экстремума: y'' = -6x.

Подставим x = -1 и x = 1: y''(-1) = -6(-1) = 6 > 0, y''(1) = -6(1) = -6 < 0.

Точка x = -1 является точкой минимума, а x = 1 - точкой максимума.

Таким образом, функция y=3x-x^3 монотонно возрастает на интервале (-1, 1) и имеет точку минимума при x = -1, а также монотонно убывает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и имеет точку максимума при x = 1.