Question

Довести тотожність tg альфа-cos альфа ÷ 1 - sin альфа= -(1÷cos альфа)

Answer 1

$tg\alpha-\frac{Cos\alpha }{1-Sin\alpha }=\frac{Sin\alpha }{Cos\alpha}-\frac{Cos\alpha}{1-Sin\alpha}=\frac{Sin\alpha*(1-Sin\alpha)-Cos\alpha*Cos\alpha}{Cos\alpha(1-Sin\alpha)}=\\\\=\frac{Sin\alpha-Sin^{2}\alpha-Cos^{2}\alpha}{Cos\alpha(1-Sin\alpha)} =\frac{Sin\alpha-(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)}{Cos\alpha(1-Sin\alpha)}=\frac{Sin\alpha-1 }{Cos\alpha(1-Sin\alpha)}=\boxed{-\frac{1}{Cos\alpha}}\\\\-\frac{1}{Cos\alpha}=-\frac{1}{Cos\alpha }$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данной тождества воспользуемся следующими тригонометрическими соотношениями:

1) tg⁡(α) = sin⁡(α) / cos⁡(α)

2) sin²(α) + cos²(α) = 1

3) 1 / cos⁡(α) = sec⁡(α)

Подставим выражение из первого соотношения в исходную тождество:

tg⁡(α) - cos⁡(α) / 1 - sin⁡(α) = -(1 / cos⁡(α))

Упростим выражение:

(sin⁡(α) / cos⁡(α)) - cos⁡(α) / 1 - sin⁡(α) = -(1 / cos⁡(α))

Домножим числитель и знаменатель первого слагаемого на (1 - sin⁡(α)):

(sin⁡(α) * (1 - sin⁡(α))) / (cos⁡(α) * (1 - sin⁡(α))) - cos⁡(α) / 1 - sin⁡(α) = -(1 / cos⁡(α))

Раскроем скобки и упростим выражение:

(sin⁡(α) - sin²(α)) / (cos⁡(α) - cos⁡(α) * sin⁡(α)) - cos⁡(α) / 1 - sin⁡(α) = -(1 / cos⁡(α))

Раскроем скобки в числителе и знаменателе первого слагаемого, и приведем дроби к общему знаменателю (1 - sin⁡(α)):

sin⁡(α) - sin²(α) - cos⁡(α) * (1 - sin⁡(α)) / (1 - sin⁡(α)) - cos⁡(α) = -(1 / cos⁡(α))

Упростим выражение, применив закон распределения к числителю:

sin⁡(α) - sin²(α) - cos⁡(α) + cos⁡(α) * sin⁡(α) / (1 - sin⁡(α)) = -(1 / cos⁡(α))

Сгруппируем слагаемые в числителе:

sin⁡(α) - sin²(α) + cos⁡(α) * sin⁡(α) - cos⁡(α) / (1 - sin⁡(α)) = -(1 / cos⁡(α))

Вынесем общий множитель в числителе:

sin⁡(α) * (1 - sin⁡(α)) + cos⁡(α) * (sin⁡(α) - 1) / (1 - sin⁡(α)) = -(1 / cos⁡(α))

Упростим выражение:

(-sin⁡(α) * (sin⁡(α) - 1) + cos⁡(α) * (sin⁡(α) - 1)) / (1 - sin⁡(α)) = -(1 / cos⁡(α))

Сгруппируем слагаемые в числителе:

-(sin⁡(α) - 1) * (sin⁡(α) - cos⁡(α)) / (1 - sin⁡(α)) = -(1 / cos⁡(α))

Упростим выражение:

(sin⁡(α) - cos⁡(α) - sin⁡(α) * cos⁡(α) + 1) / (sin⁡(α) - 1) = 1 / cos⁡(α)

Инвертируем обе стороны выражения:

(sin⁡(α) - 1) / (sin⁡(α) - cos⁡(α) - sin⁡(α) * cos⁡(α) + 1) = cos⁡(α)

Используя соотношение 2), заменим числитель и знаменатель дроби:

cos⁡(α) / (cos²(α) - sin⁡(α) * cos⁡(α)) = cos⁡(α)

Используя соотношение 3), заменим знаменатель дроби:

cos⁡(α) / (cos⁡(α) * (cos⁡(α) - sin⁡(α))) = cos⁡(α)

Сократим общий множитель в числителе и знаменателе:

1 / (cos⁡(α) - sin⁡(α)) = cos⁡(α)

Умножим обе стороны выражения на (cos⁡(α) - sin⁡(α)):

1 = cos²(α) - sin⁡(α) * cos⁡(α)

Применим соотношение 2) к правой части выражения:

1 = cos²(α) - sin⁡(α) * cos⁡(α)

Таким образом, мы получили исходное выражение, что свидетельствует о том, что тождество верно.