Question

Тригонометрия.как отобрать корни -pi/12+pik и -5pi/12+pik, на окружности с промежутком [-7pi/2;-5pi/2] 80баллов

Answer 1

-pi/12+pik и -5pi/12+pik, на окружности с промежутком [-7pi/2;-5pi/2]

решение на картинке

Answer 2

Для нахождения корней уравнения на окружности с заданным промежутком необходимо использовать формулу Эйлера для вычисления тригонометрических корней. Ваше уравнение имеет вид:

\(θ = -\frac{π}{12} + \frac{kπ}{2}\) и \(θ = -\frac{5π}{12} + \frac{kπ}{2}\), где k - целое число.

Для нахождения корней на заданном промежутке [-7π/2, -5π/2], нужно определить значения k, которые соответствуют этому интервалу. Промежуток [-7π/2, -5π/2] можно разбить на части, учитывая, что период функции \(θ\) равен \(2π\). Так как ваши уравнения имеют форму \(θ = A + Bk\), где \(A\) и \(B\) - константы, а \(k\) - целое число, необходимо найти значения \(k\), которые соответствуют заданному интервалу.

Первое уравнение \(θ = -\frac{π}{12} + \frac{kπ}{2}\) соответствует увеличению значения \(θ\) при увеличении \(k\). То есть, значение \(θ\) будет увеличиваться, когда \(k\) увеличивается на 1.

Для промежутка [-7π/2, -5π/2] можно определить начальное значение \(k\):

\(-\frac{7π}{2} = -\frac{π}{12} + \frac{k_{нач}}{2}π\)

Теперь решим это уравнение:

\(-\frac{7π}{2} + \frac{π}{12} = \frac{k_{нач}}{2}π\)

\(-\frac{7π}{2} + \frac{π}{12} = k_{нач}π\)

\(k_{нач} = \frac{-7π + \frac{π}{12}}{2π}\)

\(k_{нач} = \frac{-7 + \frac{1}{12}}{2}\)

\(k_{нач} = \frac{-83}{24}\)

Так как \(k\) должно быть целым числом, то ближайшее целое значение \(k_{нач}\) в данном случае -1. Это будет начальное значение \(k\) для нашего промежутка.

Теперь определим конечное значение \(k\) для этого интервала:

\(-\frac{5π}{2} = -\frac{π}{12} + \frac{k_{кон}}{2}π\)

Решим это уравнение:

\(-\frac{5π}{2} + \frac{π}{12} = \frac{k_{кон}}{2}π\)

\(-\frac{5π}{2} + \frac{π}{12} = k_{кон}π\)

\(k_{кон} = \frac{-5π + \frac{π}{12}}{2π}\)

\(k_{кон} = \frac{-60 + 1}{24}\)

\(k_{кон} = \frac{-59}{24}\)

Ближайшее целое значение \(k_{кон}\) в данном случае также -1.

Таким образом, интервал \([-7π/2, -5π/2]\) включает в себя корни уравнения \(θ = -\frac{π}{12} + \frac{kπ}{2}\) при \(k = -1\), то есть:

\(θ_1 = -\frac{π}{12} + \frac{(-1)π}{2}\)

\(θ_1 = -\frac{π}{12} - \frac{π}{2}\)

\(θ_1 = -\frac{7π}{12}\)

Аналогично, интервал \([-7π/2, -5π/2]\) также включает в себя корни уравнения \(θ = -\frac{5π}{12} + \frac{kπ}{2}\) при \(k = -1\):

\(θ_2 = -\frac{5π}{12} + \frac{(-1)π}{2}\)

\(θ_2 = -\frac{5π}{12} - \frac{π}{2}\)

\(θ_2 = -\frac{11π}{12}\)

Таким образом, корни уравнений \(θ = -\frac{π}{12} + \frac{kπ}{2}\) и \(θ = -\frac{5π}{12} + \frac{kπ}{2}\) на окружности с промежутком \([-7π/2, -5π/2]\) равны:

\(θ_1 = -\frac{7π}{12}\) и \(θ_2 = -\frac{11π}{12}\).