Question

Упростите выражение log 4 (1 - sin x) + log 4(1+sin x) и найдите его значение при x= П/4

Answer 1

$\displaystyle log_4(1-sinx)+log_4(1-sinx)=log_4(1-sinx)(1+sinx)=\\\\=log_4(1-sin^2x)=log_4(cos^2x)\\\\x=\frac{\pi }{4}\\\\log_4(cos^2\frac{\pi }{4})=log_4(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=log_4\frac{1}{2}=log_{2^2}2^{-1}=-\frac{1}{2}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством логарифма: log(a * b) = log(a) + log(b)

Применяя это свойство к исходному выражению, получим: log4(1 - sinx) + log4(1 + sinx)

Так как слагаемые содержат одну и ту же базу логарифма, их можно объединить в одно выражение с помощью использования свойства сложения логарифмов: log4[(1 - sinx) * (1 + sinx)]

Используем формулу разности квадратов: log4(1 - sin^2x)

Так как sin^2x + cos^2x = 1, можем выразить sin^2x как (1 - cos^2x): log4(1 - (1 - cos^2x))

Упрощаем: log4(cos^2x)

Так как cos^2x = (1 + cos2x)/2, подставим: log4((1 + cos2x)/2)

Таким образом, упрощенное выражение будет: log4((1 + cos2x)/2)

Теперь найдем значение данного выражения при x = П/4: cos(2 * П/4) = cos П/2 = 0

Заменяем это значение вместо cos2x в упрощенном выражении: log4((1 + 0)/2) = log4(1/2)

Далее, применяем свойство логарифма: log4(1/2) = log4(1) - log4(2) = 0 - log4(2)

Ответ: значение выражения log4(1 - sinx) + log4(1 + sinx) при x = П/4 равно -log4(2).